Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，EF過O點(diǎn)且EF⊥AC分別交DC于F，交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)G是AE中點(diǎn)且∠AOG=30°，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（ ）
（1）DC=3OG； （2）OG=BC； （ 3）OGE是等邊三角形； （ 4）SAOE= S矩形ABCD

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】∵EF⊥AC，點(diǎn)G是AE中點(diǎn)，

∴OG=AG=GE=AE，

∵∠AOG=30°，

∴∠OAG=∠AOG=30°，

∠GOE=90°-∠AOG=90°-30°=60°，

∴△OGE是等邊三角形，故（3）正確；

設(shè)AE=2a，則OE=OG=a，

由勾股定理得，AO=== ,

∵O為AC中點(diǎn)，

∴AC=2AO=a，

∴BC=AC=×a= ,

在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=,

∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD=AB=3a，

∴DC=3OG，故（1）正確；

∵OG=a， BC=a，

∴BC≠BC，故（2）錯(cuò)誤；

∵S△AOE=a =,

SABCD=3a =3 a2，

∴S△AOE=SABCD，故（4）正確；

綜上所述，結(jié)論正確是（1）（3）（4）共3個(gè)．

故選C．

點(diǎn)睛:本題考查了矩形的性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)與判定,等腰三角形的性質(zhì)與判定,三角形的面積,設(shè)出AE.OG,然后用a表示出相關(guān)的邊更容易理解.