Question

如圖，△ABD和△ACE是△ABC外兩個等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°．
（1）探索DC與BE的夾角的大�。�
（2）取BC中點M，連MA，探討MA與DE的位置關(guān)系．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)可得AB=AD，AE=AC，易證∠DAC=∠BAE，即可證明△ABE≌△ADC，可得∠ABE=∠ADC，即可求得∠BOF=∠DAF=90°，即可解題．
（2）過B作BN∥AC，使得BN=AC，可得四邊形ABNC為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到易證BN=AC=AE，∠BAC+∠ABN=180°，再根據(jù)∠BAC+∠DAE=180°即可求得∠DAE=∠ABN，即可證明△DAE≌△ABN，可得∠BAN=∠ADH，再根據(jù)∠DAH+∠BAN=90°，即可求得∠AHD=90°，即可解題．

解答：解：（1）如圖，

∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AE=AC，
又∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即：∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，

AB=AD ∠DAC=∠BAE AE=AC

，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴∠ABE=∠ADC，
又∵∠BFO=∠DFA，∠ADF+∠DFA=90°，
∴∠ABE+∠BFO=90°，
∴∠BOF=∠DAF=90°，即DC與BE的夾角為90°；
（2）過B作BN∥AC，使得BN=AC，則四邊形ABNC為平行四邊形，延長MA交DE于H，

則BN=AC，
∵AC=AE，
∴BN=AE，
∵∠BAC+∠DAE=180°，∠BAC+∠ABN=180°，
∴∠DAE=∠ABN，
在△DAE和△ABN中，

AD=AB ∠DAE=∠ABN AE=BN

，
∴△DAE≌△ABN，（SAS）
∴∠BAN=∠ADH，
∵∠DAH+∠BAN=90°，
∴∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠AHD=90°，即AM⊥DE．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△ABE≌△ADC和△DAE≌△ABN是解題的關(guān)鍵．