Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
（1）求拋物線(xiàn)及直線(xiàn)AC的解析式；
（2）E、F是線(xiàn)段AC上的兩點(diǎn)，且∠AEO=∠ABC，過(guò)點(diǎn)F作與y軸平行的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N．當(dāng)MF=DE時(shí)，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、F、M為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)Q是位于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)圖象上的一點(diǎn)，試比較銳角∠QCO與∠BCO的大小（直接寫(xiě)出結(jié)果，不要求寫(xiě)出求解過(guò)程，但要寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)x的取值范圍）．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法，把已知坐標(biāo)代入求出拋物線(xiàn)的解析式．設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+n，爸已知坐標(biāo)代入求出直線(xiàn)AC的解析式．
（2）首先證明△AEO∽△ABC，利用線(xiàn)段比求出AE的長(zhǎng)．然后作EH⊥y軸于H，易得E點(diǎn)坐標(biāo)．設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x+3），M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-x²-2 x+3），求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)MP∥FA所推出的線(xiàn)段比求出PN的值從而求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）份額根據(jù)x的取值范圍不同求解．

解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c過(guò)B（1，0）、C（0，3）兩點(diǎn)
∴

-1+b+c=0 c=3

解得

b=-2 c=3

∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²-2x+3
由y=-x²-2x+3可得A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）
設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+n，
∴

-3k+n=0 n=3

解得

k=1 n=3

∴直線(xiàn)AC的解析式為y=x+3．

（2）∵OA=OC=3，OB=1
∴△AOC是等腰直角三角形，AC=3

2

，AB=4
∴∠ECO=45°
∵∠AEO=∠ABC，∠EAO=∠BAC
∴△AEO∽△ABC
∴

AE

AB

=

AO

AC

∴

AE

4

=

3

3 2

∴AE=2

2

．
∴CE=AC-AE=3

2

-2

2

=

2

過(guò)點(diǎn)E作EH⊥y軸于H
可得EH=CH=1，OH=2
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，2）
∵拋物線(xiàn)y=-x²-2x+3頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4）
∴ED=2
∴MF=ED=2
∵F在線(xiàn)段AC上，M在拋物線(xiàn)y=-x²-2x+3上
∴設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x+3），M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-x²-2 x+3）
∴-x²-2 x+3-（x+3）=2
解得x₁=-2，x₂=-1（不合題意，舍去）
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，1）
∴FN=NA=1
在x軸上存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、F、M為頂點(diǎn)的四邊形是梯形
當(dāng)FP∥MA時(shí)，可得

FN

MN

=

PN

AN

∴

1

3

=

PN

1

∴PN=

1

3

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

7

3

，0）
當(dāng)MP∥FA時(shí)，可得

FN

MN

=

AN

PN

∴PN=3
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5，0）
∴在x軸上存在點(diǎn)P使得以點(diǎn)P、A、F、M為頂點(diǎn)的四邊形是梯形
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

7

3

，0）或（-5，0）．

（3）當(dāng)x＜-5時(shí)，銳角∠QCO＜∠BCO
當(dāng)x=-5時(shí)，銳角∠QCO=∠BCO
當(dāng)-5＜x＜-1時(shí)，銳角∠QCO＞∠BCO．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)以及相似三角形的判定定理，難度較大．