Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長為20cm，∠ABC＝120°．動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；Q先以2cm/s的速度沿A→O的路線向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，然后再以2cm/s的速度沿O→D的路線向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）在點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷PQ與對(duì)角線AC的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若點(diǎn)Q關(guān)于菱形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為M，過點(diǎn)P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD（或CD）于點(diǎn)N．

①直接寫出當(dāng)△PQM是直角三角形時(shí)t的取值范圍；

②是否存在這樣的t，使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）PQ⊥AC，理由見解析；（2）①0＜t＜5或t＝7.5；②存在，t＝2或

【解析】

（1）利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．

（2）①分兩種情形分別求解即可．

②假設(shè)存在這樣的t，使得△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形，但是需分點(diǎn)N在AD上時(shí)和點(diǎn)N在CD上時(shí)兩種情況分別討論．

（1）由題意AP＝4t，AQ＝2t．

則＝＝，

又∵AO＝10，AB＝20，

∴＝＝．

∴＝，

又∵∠CAB＝30°，

∴△APQ∽△ABO．

∴∠AQP＝∠AOB＝90°，即PQ⊥AC．

（2）①由（1）可知，當(dāng)0＜t＜5時(shí)，如圖1中，∠PQM＝90°，△PQM是直角三角形，

當(dāng)5＜t＜10時(shí)，如圖2中，當(dāng)BP＝PC時(shí)，∠PMQ＝90°，此時(shí)t＝7.5，

綜上所述，當(dāng)0＜t＜5或t＝7.5時(shí)，△PQM是直角三角形

②存在這樣的t，使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形．

設(shè)l交AC于H．

如圖1，當(dāng)點(diǎn)N在AD上時(shí)，若PN⊥MN，則∠NMH＝30°．

∴MH＝2NH．得20﹣4t﹣t＝2×，解得t＝2．

如圖3，當(dāng)點(diǎn)N在CD上時(shí)，若PM⊥PN，則PM∥CD，

∴∠BPM＝∠BCD＝60°，∠BMP＝∠BDC＝60°，

∵∠PBM＝60°，

∴△PBM是等邊三角形，

∵PB＝BM，

∴4t﹣20＝ [20﹣2×2（t﹣5）]，

解得t＝．

故當(dāng)t＝2或時(shí)，存在以PN為一直角邊的直角三角形．