Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），頂點(diǎn)C（1，-3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A（-1，0）．
（1）求這條拋物線的解析式．
（2）如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點(diǎn)D，與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，依次連接A、D、B、E，點(diǎn)P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與A、B兩點(diǎn)不重合），過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，請(qǐng)判斷

PM

BE

+

PN

AD

是否為定值？若是，請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接利用頂點(diǎn)式求出函數(shù)解析式即可；
（2）首先得出△APM∽△ABE，則

PM

BE

=

AP

AB

①同理：

PN

AD

=

PB

AB

②，進(jìn)而求出

PM

BE

+

PN

AD

是定值．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²-3，
將A（-1，0）代入：0=a（-1-1）²-3，
解得：a=

3

4

，
故拋物線的解析式為：y=

3

4

(x-1)2-3或y=

3

4

x2-

3

2

x-

9

4

；

（2）是定值，

PM

BE

+

PN

AD

=1，
理由：∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
∵PM⊥AE，
∴PM∥BE，
∴△APM∽△ABE，
∴

PM

BE

=

AP

AB

①
同理：

PN

AD

=

PB

AB

②，
①+②：

PM

BE

+

PN

AD

=

AP

AB

+

PB

AB

=1．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出△APM∽△ABE是解題關(guān)鍵．