Question

【題目】已知二次函數(shù)．

（1）該二次函數(shù)圖象的對稱軸是x ；

（2）若該二次函數(shù)的圖象開口向下，當(dāng)時(shí)， 的最大值是2，求當(dāng)時(shí)， 的最小值；

（3）若對于該拋物線上的兩點(diǎn)， ，當(dāng)， 時(shí)，均滿足，請結(jié)合圖象，直接寫出的最大值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）－6；（3）4．

【解析】試題分析：

（1）由二次函數(shù)的對稱軸為直線即可求出的對稱軸為直線： ；

（2）由題意結(jié)合（1）中所得拋物線的對稱軸為直線可得，當(dāng)時(shí)， 最大=，由此可解得；由對稱軸把分為和 兩個(gè)部分，結(jié)合對稱軸兩側(cè)函數(shù)的增減性即可求得當(dāng)時(shí)， 的最小值；

（3）由題意可得拋物線和x軸交于點(diǎn)（1，0）和（3，0）；分a>0和a<0兩種情況畫出圖象結(jié)合已知條件進(jìn)行分析解答即可；

試題解析：

（1）∵二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，

∴二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線： ；

（2）∵ 該二次函數(shù)的圖象開口向下，且對稱軸為直線，

∴ 當(dāng)時(shí)，y取到在上的最大值為2.

∴.

∴， .

∵ 當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，

∴ 當(dāng)時(shí)，y取到在上的最小值.

∵ 當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，

∴ 當(dāng)時(shí)，y取到在上的最小值.

∴ 當(dāng)時(shí)，y的最小值為.

（3）∵二次函數(shù)，

∴二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)（1，0）和（3，0），由此分和畫出圖象如下：

①如圖，當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，由題意可知，此時(shí)點(diǎn)Q在直線的右側(cè)，由圖可知，此時(shí)不存t的值，使當(dāng)， 時(shí)，始終滿足成立；

②當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，由題意可知，此時(shí)點(diǎn)Q在直線的右側(cè)，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上點(diǎn)M和點(diǎn)N之間的部分圖象上時(shí)，存在t，使當(dāng)， 時(shí)，始終滿足成立；此時(shí)，點(diǎn)M1關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為:-1，故，解得，所以的最大值為.

綜合①②可得，滿足條件的的最大值為.