Question

5．如圖，在⊙O中，AC與BD是圓的直徑，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分別為E、F
（1）四邊形ABCD是什么特殊的四邊形？請判斷并說明理由；
（2）求證：BE=CF．

Answer 1

分析 （1）由圓周角定理得出∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=∠BCD=90°，即可得出四邊形ABCD是矩形；
（2）由AAS證明△BOE≌△COF，得出對應邊相等即可．

解答 （1）解：四邊形ABCD是矩形．理由如下：
∵AC與BD是圓的直徑，
∴∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=∠BCD=90°，
∴四邊形ABCD是矩形；
（2）證明：∵BO=CO，
又∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO=∠CFO=90°．
在△BOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEO=∠CFO}&{\;}\\{∠BOE=∠COF}&{\;}\\{OB=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF（AAS）．
∴BE=CF．

點評 本題考查了圓周角定理、矩形的判定、全等三角形的判定與性質；熟練掌握圓周角定理，證明三角形全等是解決問題（2）的關鍵．