Question

如圖，在正方形ABCD中，N是DC的中點，M是AD上異于D點的任一點，且∠NMB=∠MBC．
若DN=1，則BM的長為

 

．

Answer 1

考點：正方形的性質,勾股定理

專題：

分析：延長MN于K，根據正方形的性質結合N是DC的中點，得出AD=2，MD=CK，MN=NK，根據∠NMB=∠MBC．得出MK=BK=BC+CK，設CK=MD=x，則MK=2+x，MN=1+

1

2

x，在RT△MND中，根據勾股定理求得x的值，進而求得AM的值，在RT△MAB中根據勾股定理即可求得BM的值．

解答：解：延長MN交BC的延長線于K，
∵在正方形ABCD中，N是DC的中點，
∴AD=DC=DN+NC=2DN=2，AD∥BC，
在△MND與△KNC中，

∠MND=∠KNC ∠D=∠NCE DN=CN

，
∴△MND≌△KNC（AAS），
∴MD=CK，MN=NK，
∵∠NMB=∠MBC．
∴MK=BK=BC+CK，
設CK=MD=x，
∴MK=2+x，MN=1+

1

2

x，
在RT△MND中，x²+1²=（1+

1

2

x）²，
解得x=

4

3

，x=0（舍去），
∴AM=2-

4

3

=

2

3

，
在RT△MAB中，BM²=AB²+AM²=4+

4

9

=

40

9

，
∴BM=

2

3

10

．
故答案為

2

3

10

．

點評：本題考查了正方形的性質，勾股定理的應用，作出輔助線構建等腰三角形是本題的關鍵．