Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，AE是角平分線，交CD于F，F(xiàn)M∥AB且交BC于M，則CE與MB的大小關(guān)系怎樣？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)角平分線的定義可得∠CAE=∠BAE，再根據(jù)等角的余角相等求出∠AEC=∠AFD，然后求出∠AEC=∠CFE，根據(jù)等角對(duì)等邊可得CE=CF，過點(diǎn)M作MN∥AE，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠BAE=∠BNM，從而得到∠CAE=∠BNM，再判斷出四邊形ANMF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得AF=MN，再求出∠B=∠ACF，然后利用“角角邊”證明△ACF和△NBM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=MB，從而得證．

解答：證明：∵AE是角平分線，
∴∠CAE=∠BAE，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CAE+∠AEC=90°，∠BAE+∠AFD=90°，
∴∠AEC=∠AFD，
∵∠AFD=∠CFE（對(duì)頂角相等），
∴∠AEC=∠CFE，
∴CE=CF，
過點(diǎn)M作MN∥AE，
∴∠BAE=∠BNM，
∴∠CAE=∠BNM，
又∵FM∥AB，
∴四邊形ANMF是平行四邊形，
∴AF=MN，
∵∠B+∠BAC=90°，∠ACF+∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACF，
在△ACF和△NBM中，

∠CAE=∠BNM ∠B=∠ACF AF=MN

，
∴△ACF≌△NBM（AAS），
∴CF=MB，
∴CE=MB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等角的余角相等，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．