Question

下表給出了代數式x²+bx+c與x的一些對應值：

x	…	-1	0	1	2	3	4	…
x2+bx+c	…		3		-1		3	…

（1）根據表格中的數據，確定b、c的值，并填齊表格空白處的對應值；
（2）設y=x²+bx+c的圖象與x軸的交點為A、B兩點（A點在B點左側），與y軸交于點C，P為線段AB上一動點，過P點作PE∥AC交BC于E，連接PC，當△PEC的面積最大時，求P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）可先任取兩組已知的數據求出拋物線y=x²+bx+c的解析式，然后將x=-1，x=1，x=3的值分別代入拋物線的解析式中，即可求出y的值，即x²+bx+c的值．
（2）本題可先求出△PEC的面積和P點坐標之間的函數關系式，然后根據函數的性質進行求解．由于三角形PEC的面積無法直接求出，因此可用S_△PEC=S_△BCP-S_△BPE來求．設出P點的坐標，然后表示出BP的長，那么關鍵就是△PBE的高，可過E作x軸的垂線，然后根據相似三角形BPE和BAC來求出△PBE的高，進而可根據上面分析的△PEC面積的求法得出關于S與P點橫坐標的函數關系式，然后根據函數的性質即可得出S的最大值以及對應的P點的坐標．

解答：解：（1）當x=0和x=4時，均有函數值y=3，
∴函數的對稱軸為x=2
∴頂點坐標為（2，-1）
即對應關系滿足y=（x-2）²-1，
∴y=x²-4x+3，
∴當x=-1時，y=8；x=1時，y=0；x=3時，y=0．

x	…	-1	0	1	2	3	4	…
x2+bx+c	…	8	3	0	-1	0	3	…

（2分）

（2）解：函數圖象與x軸交于A（1，0）、B（3，0）；
與y軸交于點C（0，3），

設P點坐標為（x，0），則PB=3-x，
∴S_△BCP=

3

2

（3-x），
∵PE∥AC，
∴△BEP∽△BCA作EF⊥OB于F，
∴

BP

BA

=

EF

CO

，
即

3-x

2

=

EF

3

，
∴EF=

3

2

（3-x），
∴S_△BPE=

1

2

BP•EF=

3

4

（3-x）²
∵S_△PEC=S_△BCP-S_△BPE
∴S_△PEC=

3

2

（3-x）-

3

4

（3-x）²
S_△PEC=-

3

4

x²+3x-

9

4

=-

3

4

（x-2）²+

3

4

∴當x=2時，y_最大=

3

4

∴P點坐標是（2，0）．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形的面積求法、三角形相似等重要知識點，考查學生數形結合的數學思想方法．（不規(guī)則圖形的面積通常轉化為規(guī)則圖形的面積的和差．