Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動，且保持AD=CE．連接DE、DF、EF．在此運(yùn)動變化的過程中，下列結(jié)論：①△DEF是等腰直角三角形；②四邊形CDFE可能為正方形；③DE長度的最小值為4；④四邊形CDFE的面積保持不變；⑤△CDE面積的最大值為8．其中正確的結(jié)論是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：探究型

分析：連結(jié)CF，如圖，根據(jù)等腰直角△ABC的性質(zhì)得CF=AF=BF，CF⊥AB，∠1=45°，則可根據(jù)“SAS”判斷△ADF≌△CEF，得到DF=EF，∠3=∠2，由∠3+∠CFD=90°可得∠3+∠2=90°，即∠DFE=90°，所以△DEF為等腰直角三角形，于是可對①進(jìn)行判斷；由于當(dāng)FD⊥AC時，F(xiàn)E⊥BC，則AD=CE=

1

2

AC，此時四邊形CDFE為正方形，于是可對②進(jìn)行判斷；利用△DEF為等腰直角三角形得到DE=

2

FD，利用垂線段最短，當(dāng)FD⊥AC時，F(xiàn)D的長度最小，此時FD=

1

2

AC=4，所以DE長度的最小值為4

2

，則可對③進(jìn)行判斷；利用S_△ADF=S_△CEF可得四邊形CDFE的面積=S_△ACF=

1

2

S_△ABC=16，于是可對④進(jìn)行判斷；由于S_△CDE=S_{四邊形CDFE}-S_△DEF=16-S_△DEF，F(xiàn)D的長度的最小值為4，則S_△DEF的最小值值為8，所以△CDE面積的最大值為8，則可對⑤進(jìn)行判斷．

解答：解：連結(jié)CF，如圖，
∵△ABC為直角三角形，
∴∠A=45°，
∵F是等腰直角△ABC斜邊上的中點(diǎn)，
∴CF=AF=BF，CF⊥AB，∠1=45°，
在△ADF和△CEF中，

AD=CE ∠A=∠1 AF=CF

，
∴△ADF≌△CEF（SAS），
∴DF=EF，∠3=∠2，
∵∠3+∠CFD=90°，
∴∠3+∠2=90°，即∠DFE=90°，
∴△DEF為等腰直角三角形，所以①正確；
當(dāng)FD⊥AC時，F(xiàn)E⊥BC，則AD=CE=

1

2

AC，此時四邊形CDFE為正方形，所以②正確；
∵△DEF為等腰直角三角形，
∴DE=

2

FD，
當(dāng)FD⊥AC時，F(xiàn)D的長度最小，此時FD=

1

2

AC=4，
∴DE長度的最小值為4

2

，所以③錯誤；
∵△ADF≌△CEF，
∴S_△ADF=S_△CEF，
∴四邊形CDFE的面積=S_△ACF=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

×8×8=16，所以④正確；
∵S_△CDE=S_{四邊形CDFE}-S_△DEF=16-S_△DEF，
而當(dāng)FD⊥AC時，F(xiàn)D的長度最小，此時FD=

1

2

AC=4，
∴S_△DEF的最小值為

1

2

×4×4=8，
∴△CDE面積的最大值為16-8=8，所以⑤正確．
故答案為①②④⑤．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．也考查了等腰直角三角形的判斷與性質(zhì)和三角形面積公式．