Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)C：y=ax2+bx+c與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D(0，4)，AB=4，設(shè)點(diǎn)F(m，0)是x軸的正半軸上一點(diǎn)，將拋物線(xiàn)C繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線(xiàn)C/．

(1)求拋物線(xiàn)C的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若拋物線(xiàn)C/與拋物線(xiàn)C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求m的取值范圍．

(3)如圖2，P是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)C上一點(diǎn)，它到兩坐標(biāo)軸的距離相等，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C/上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P/，設(shè)M是C上的動(dòng)點(diǎn)，N是C/上的動(dòng)點(diǎn)，試探究四邊形PMP/N能否成為正方形？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2＜m＜；（3）m=6或m=﹣3．

【解析】

試題（1）由題意拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)C（0，4），A（，0），設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為，把A（，0）代入可得a=，由此即可解決問(wèn)題；

（2）由題意拋物線(xiàn)C′的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2m，﹣4），設(shè)拋物線(xiàn)C′的解析式為，由，消去y得到，由題意，拋物線(xiàn)C′與拋物線(xiàn)C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則有，解不等式組即可解決問(wèn)題；

（3）情形1，四邊形PMP′N能成為正方形．作PE⊥x軸于E，MH⊥x軸于H．由題意易知P（2，2），當(dāng)△PFM是等腰直角三角形時(shí)，四邊形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易證△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；情形2，如圖，四邊形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．

試題解析：（1）由題意拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)C（0，4），A（，0），設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為，把A（，0）代入可得a=，∴拋物線(xiàn)C的函數(shù)表達(dá)式為．

（2）由題意拋物線(xiàn)C′的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2m，﹣4），設(shè)拋物線(xiàn)C′的解析式為，由，消去y得到 ，由題意，拋物線(xiàn)C′與拋物線(xiàn)C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則有，解得2＜m＜，∴滿(mǎn)足條件的m的取值范圍為2＜m＜．

（3）結(jié)論：四邊形PMP′N能成為正方形．

理由：1情形1，如圖，作PE⊥x軸于E，MH⊥x軸于H．

由題意易知P（2，2），當(dāng)△PFM是等腰直角三角形時(shí)，四邊形PMP′N是正方形，∴PF=FM，∠PFM=90°，易證△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，∴M（m+2，m﹣2），∵點(diǎn)M在上，∴，解得m=﹣3或﹣﹣3（舍棄），∴m=﹣3時(shí)，四邊形PMP′N是正方形．

情形2，如圖，四邊形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），把M（m﹣2，2﹣m）代入中，，解得m=6或0（舍棄），∴m=6時(shí)，四邊形PMP′N是正方形．

綜上所述：m=6或m=﹣3時(shí)，四邊形PMP′N是正方形．