Question

已知：如圖，△ABC內接于⊙O，點D在OC的延長線上，∠B=∠CAD=30°．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若OD⊥AB，BC=4，求AD的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OA，由已知∠B=∠CAD=30°，所以得∠AOC=60°，繼而可得∠OAC=60°，又∠CAD=30°，所以∠OAD=90°，問題得證；
（2）由于OD⊥AB，OC是半徑，利用垂徑定理可知OC是AB的垂直平分線，那么CA=CB，而∠B=30°，則∠D=30°，通過解直角三角形求得AD的長度即可．

解答：（1）證明：連接OA，
∵∠B=30°，
∴∠AOC=60°，
可得∠OAC=60°，
又∵∠CAD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴AD是⊙O的切線；

（2）解：∵OD⊥AB，
∴弧BC=弧AC，
∴BC=AC=4，
∵△OAC是等邊三角形，
∴OA=AC=4，
在Rt△OAD中，∠D=30°，OA=4，
∴AD=4

3

．

點評：此題考查了切線的判定與性質，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質，以及銳角三角函數定義，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．