Question

18．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E₁，E₂，E₃，…，和F₁，F(xiàn)₂，F(xiàn)₃，…分別在直線y=kx+b和x軸上，四邊形OE₁F₁G₁，四邊形F₁E₂F₂G₂，四邊形F₂E₃F₃G₃，…都是正方形，如果E₁（1，1），E₂（4，2），那么線段F_n-1F_n的長是（　　）

• A． 2^n-1
• B． 2ⁿ
• C． 2²ⁿ
• D． 2ⁿ⁺¹

Answer 1

分析 先求出OF₁=2，F(xiàn)₁F₂=4=2²，再求出直線解析式，通過解方程組求出E₃的坐標(biāo)，得出F₂F₃=2³，…，即可得出規(guī)律，得出結(jié)果．

解答 解：∵四邊形OE₁F₁G₁，四邊形F₁E₂F₂G₂是正方形，E₁（1，1），E₂（4，2），
∴OF₁=2，F(xiàn)₁F₂=4=2²，∠E₁OF₁=45°，
把E₁（1，1），E₂（4，2），代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=1}&{\;}\\{4k+b=2}&{\;}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$，
∴y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$，
∵∠E₁OF₁=45°，
∴直線OE₁的解析式為：y=x，
∵OF₂=6，
∴直線E₃F₂的解析式為：y=x-6，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}\\{y=x-6}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴E₃（10，4），
∴F₂F₃=2（10-6）=8=2³，…，
∴線段F_n-1F_n的長是：2ⁿ．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)解析式的求法；通過求出一次函數(shù)解析式得出點(diǎn)的坐標(biāo)，得出規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．