Question

11．如圖，在等邊△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，連接CD，在CD上取一點(diǎn)E，∠BEC=120°，連接BE．若CD=$\frac{14}{3}$，BE=2，△ACD的面積為$\frac{14}{3}$$\sqrt{3}$，則△BCE的面積為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 過(guò)B作BH⊥CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，根據(jù)三角函數(shù)可求BH=$\sqrt{3}$，HE=1，再根據(jù)三角形面積公式得到AB=2$\sqrt{7}$，BD=$\frac{1}{3}$×2$\sqrt{7}$，根據(jù)勾股定理和線段的和差故關(guān)系可得CE=4，再根據(jù)三角形面積公式即可求解．

解答 解：過(guò)B作BH⊥CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
∵∠BEH=180°-120°=60°，BE=2，
∴BH=$\sqrt{3}$，HE=1，
S_△BCD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{14}{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△BCA=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$+$\frac{14\sqrt{3}}{3}$=7$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²，
解得AB=2$\sqrt{7}$，
∴$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△BCA}}$=$\frac{2}{3}$=$\frac{AD}{AB}$，得BD=$\frac{1}{3}$×2$\sqrt{7}$，
在Rt△BDH中，DH=$\sqrt{B{D}^{2}-B{H}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，DE=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，
CE=$\frac{14}{3}$-$\frac{2}{3}$=4，
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×4=2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，三角形面積，求得BH，CE的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．