Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx﹣4a經(jīng)過A（﹣1，0）、C（0，4）兩點，與x軸交于另一點B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，求點D關(guān)于直線BC對稱的點的坐標；

（3）如圖2，點P為第一象限拋物線上一點，是否存在使△PBC面積最大的點P？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（4）如圖3，若拋物線的對稱軸EF（E為拋物線頂點）與直線BC相交于點F，M為直線BC上的任意一點，過點M作MN∥EF交拋物線于點N，以E，F(xiàn)，M，N為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點N的坐標；若不能，請說明理由．

　

Answer 1

【考點】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）由于拋物線y=ax²+bx﹣4a經(jīng)過A（﹣1，0）、C（0，4）兩點，根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的解析式；

（2）將點D（m，m+1）代入y=﹣x²+3x+4中，得到D（3，4），得到CD∥x軸，由B（4，0）、C（0，4）可得：OB=OC=4，根據(jù)等腰直角三角形的判定可得△OBC是等腰直角三角形，得：∠OCB=∠DCB=45°；再關(guān)于直線的對稱點的性質(zhì)即可求解；

 （3）根據(jù)待定系數(shù)法可求直線BC的解析式，再根據(jù)三角形面積公式和二次函數(shù)的最值即可求解；

（4）根據(jù)拋物線y=﹣x²+3x+4的頂點坐標得到E，直線BC：y=﹣x+4；當時，y=﹣+4=，可得，根據(jù)兩點間的距離公式可得，如圖3，過點M作MN∥EF，交拋物線于點N，設(shè)N（x，﹣x²+3x+4），則M（x，﹣x+4）；則MN=|（﹣x²+3x+4）﹣（﹣x+4）|=|﹣x²+4x|；當EF與NM平行且相等時，四邊形EFMN是平行四邊形，則|﹣x²+4x|=，解方程可求點N的坐標．

【解答】解：（1）依題意，有：，

解得．

故拋物線的解析式：y=﹣x²+3x+4．             

（2）將點D（m，m+1）代入y=﹣x²+3x+4中，得：﹣m²+3m+4=m+1，

化簡，得：m²﹣2m﹣3=0，

解得：m₁=﹣1（舍），m₂=3；

∴D（3，4），

∴CD∥x軸；

由B（4，0）、C（0，4）可得：OB=OC=4，即△OBC是等腰直角三角形，得：∠OCB=∠DCB=45°；

設(shè)點D關(guān)于直線BC的對稱點為點E，則點E在y軸上，且CD=CE=3，OE=OC﹣CE=1，則：

點D關(guān)于直線BC的對稱點的坐標為（0，1）．      

（3）由B（4，0）、C（0，4）可知，直線BC：y=﹣x+4；

如圖2，過點P作PQ∥y軸，交直線BC于Q，設(shè)P（x，﹣x²+3x+4），則Q（x，﹣x+4）；

則PQ=（﹣x²+3x+4）﹣（﹣x+4）=﹣x²+4x；

S_△PCB=PQ•OB=×（﹣x²+4x）×4=﹣2（x﹣2）²+8；

所以，當P（2，6）時，△PCB的面積最大．        

（4）存在．

拋物線y=﹣x²+3x+4的頂點坐標E，

直線BC：y=﹣x+4；當時，y=﹣+4=，

則，

則，

如圖3，過點M作MN∥EF，交拋物線于點N，設(shè)N（x，﹣x²+3x+4），則M（x，﹣x+4）；

則MN=|（﹣x²+3x+4）﹣（﹣x+4）|=|﹣x²+4x|；

當EF與NM平行且相等時，四邊形EFMN是平行四邊形，

則|﹣x²+4x|=

由，解得（不合題意，舍去），，

則，

由，解得，

則N₂（）；N₃（2﹣，﹣+）；

綜上所述，存在平行四邊形，點N的坐標為，N₂（）；N₃（2﹣，﹣+）．

【點評】考查了二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法可求拋物線的解析式，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)于直線的對稱點的性質(zhì)，待定系數(shù)法求直線B解析式，三角形面積公式，二次函數(shù)的最值，拋物線的頂點坐標，兩點間的距離公式，平行四邊形的性質(zhì)等知識點，以及方程思想，分類思想的應(yīng)用，綜合性較強，難度較大．