Question

如圖，正方形ABCD中，E是AD的中點，F(xiàn)是AB邊上的一點，連接FE并延長與CD的延長線相交于點G，作EH⊥FG交BC的延長線于點H．
（1）若BC=8，BF=5，求線段FG的長；
（2）求證：EH=2EG．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）求出AF，根據(jù)勾股定理求出EF，證△AFE≌△DGE，推出EF=EG，即可求出答案；
（2）過E作EM⊥BH于M，過G作GN⊥BA交BA的延長線于點N，證△NFG≌△MHE，推出EH=FG=2EG即可．

解答：（1）解：∵BC=8，BF=5
∴AF=3
∵E是AD的中點，
∴AE=4
在△AFE中：EF=

32+42

=5，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠EDG=90°，
∵E為AD中點，
∴AE=ED，
在△AFE和△DGE中

∠A=∠EDG AE=DE ∠AEF=∠DEG

∴△AFE≌△DGE（ASA），
∴EF=EG，
∴FG=2EF=10；

（2）證明：過E作EM⊥BH于M，過G作GN⊥BA交BA的延長線于點N，
∵EH⊥FG，
∴∠HEG=90°，
∴∠H=∠FEM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°，
∵EM⊥BC，
∴EM∥CD，
∴∠EGC=∠FEM，
∴∠H=∠EGC，
∵AB∥CD，
∴∠EGC=∠NFG
∴∠H=∠NFG，
在△NFG與△MHE中，

∠H=∠NFG ∠N=∠EMH NG=EM

∴△NFG≌△MHE（AAS），
∴EH=FG=2EG．

點評：本題考查了正方形，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力．