Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90º，∠ABC=30º，BC=，以AC為邊在△ABC的外部作等邊△ACD，連接BD．

（1）求四邊形ABCD的面積；

（2）求BD的長．

 

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先解直角△ABC，得出AC=2，AB=4，則△ABC的面積=AC•BC=，再過點D作DE⊥AC于E，解直角△ADE，得出DE=，則△ACD的面積=AC•DE=，則根據(jù)四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ACD的面積求解.

（2）過點D作DF⊥AB于F．先求出∠DAF=180°-∠BAC-∠DAC=60°，再解直角△ADF，得出AF=1，DF=

，則BF=AF+AB=5，然后在直角△BDF中運用勾股定理即可求出BD的長度．

試題解析：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，

∴AC=2，AB=4．

∴△ABC的面積=AC•BC=×2×=．

∵△ACD為等邊三角形，

∴AD=AC=2，∠DAC=60°．

過點D作DE⊥AC于E．

在△ADE中，∵∠AED=90°，∠DAE=60°，AD=2，

∴.

∴△ACD的面積=AC•DE=×2×=.

∴四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ACD的面積=.

（2）過點D作DF⊥AB于F．

∵∠BAC=60°，∠DAC=60°，

∴∠DAF=180°-∠BAC-∠DAC=60°．

在△ADF中，∠AFD=90°，∠DAF=60°，AD=2，

∴AF=1，DF=.

∴BF=AF+AB=1+4=5，

∴.

考點：1.解直角三角形；2.等邊三角形的性質(zhì)；3.勾股定理．