Question

9．關(guān)于x的拋物線y=x²-（2m-1）x+m²-1與x軸的兩交點為A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁²+x₂²=3．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）求拋物線與直線y=-3x-4的交點坐標，并指出拋物線在該直線下方時x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線與x軸的交點問題得到x₁、x₂為方程x²-（2m-1）x+m²-1=0的兩根，則利用根的判別式可得到m＜$\frac{5}{4}$，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2m-1，x₁•x₂=m²-1，由于x₁²+x₂²=3．則（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=3，所以（2m-1）²-2（m²-1）=3，然后解方程，再利用m的范圍可確定m的值，從而得到拋物線解析式；
（2）通過解方程x²+x-1=-3x-4可得到拋物線與直線的交點的橫坐標，再求出拋物線與直線y=-3x-4的交點坐標為（-1，-1），（-3，5），然后利用圖象可判斷拋物線在該直線下方時x的取值范圍．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的拋物線y=x²-（2m-1）x+m²-1與x軸的兩交點為A（x₁，0），B（x₂，0），
∴x₁、x₂為方程x²-（2m-1）x+m²-1=0的兩根，
∴△=（2m-1）²-4（m²-1）＞0，解得m＜$\frac{5}{4}$，
∵x₁+x₂=2m-1，x₁•x₂=m²-1，
x₁²+x₂²=3．
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=3，
∴（2m-1）²-2（m²-1）=3，
整理得m²-2m=0，解得m₁=0，m₂=2，
而m＜$\frac{5}{4}$，
∴m=0，
∴拋物線解析式為y=x²+x-1；
（2）解方程x²+x-1=-3x-4得x₁=-1，x₂=-3，
∴拋物線與直線y=-3x-4的交點坐標為（-1，-1），（-3，5），
∴拋物線在該直線下方時x的取值范圍為-3＜x＜-1．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線與直線的交點問題．