Question

已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足為E，CD=ED．連接CE，交AD于點H．　
（1）求證：△ACD≌△AED；
（2）點F在AD上，連接CF，EF．現有三個論斷：①EF∥BC；②EF=FC；③CE⊥AD．請從上述三個論斷中選擇一個論斷作為條件，證明四邊形CDEF是菱形．

Answer 1

（1）證明：∵∠ACB=90°，∠CAB的平分線交BC于D，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴△ACD≌△AED（HL）；

（2）選擇①EF∥BC．
證明如下：∵△ACD≌△AED，
∴AC=AE，
∵AD平分∠CAB，
∴AD垂直平分CE，
∴FC=FE，DC=DE，
∴∠CED=∠ECD，
∵EF∥BC，
∴∠FEC=∠ECD，
∴∠CED=∠FEC，
∴∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED，
∴FC=FE=DC=DE，
∴四邊形FCDE為菱形．
分析：（1）根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CD=DE，然后利用“HL”定理即可證明；
（2）選擇①，先根據等腰三角形三線合一的性質證明AD垂直平分CE，再根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得EF=FC，DC=DE，再根據等邊對等角的性質可得∠CED=∠ECD，然后根據兩直線平行，內錯角相等可得∠FEC=∠ECD，從而求出∠EFD=∠EDF，再根據等角對等邊的性質得到EF=ED，然后利用四條邊都相等的四邊形是菱形即可證明．
點評：本題考查了菱形的判定，全等三角形的判定與性質，等腰三角形三線合一的性質，以及等角對等邊的性質，等邊對等角的性質，綜合題，但難度不大，熟練掌握各性質與判定方法是解題的關鍵．