Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，-2），（0，8），以AB為一邊作正方形ABCD，再以CD為直徑的半圓P．設(shè)x軸交半圓P于點(diǎn)E，交邊CD于點(diǎn)F．
（1）求線段EF的長(zhǎng)；
（2）連接BE，試判斷直線B與⊙P的位置關(guān)系，并說明你的理由；
（3）直線BE上是否存在著點(diǎn)Q，使得以Q為圓心、r為半徑的圓，既與y軸相切又與⊙P外切？若存在，試求r的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）線段EF的長(zhǎng)，在△EFP中，根據(jù)勾股定理求出；
（2）要想證BE是⊙O的切線，只要連接PE，求證∠PEB=90°即可；
（3）求r的值，因?yàn)椤裃與⊙P外切有PQ=r+5，Q與y軸相切有QM=r，則QN=MN-QM=10-r，則通過證明△BMQ∽△BOE可求NP=5-

4r

3

，在Rt△QNP中由勾股定理得出QN²+NP²=PQ²，列出關(guān)于r的方程，求出r的值．

解答：解：（1）連接PE，EF=

PE2-PF2

=

52-32

=4（3分）

（2）（解法一）
∵

BO

EF

=

8

4

=2，

EO

PF

=

10-4

3

=2，
∴Rt△BOE∽R(shí)t△EFP．
∴∠OBE=∠FEP．
∴∠OBE+∠OEB=90°?∠FEP+∠OEB=90°?∠BEP=90°．
∴直線B與⊙P相切．（3分）
（解法二）連接PB，
在Rt△PCB中，PB²=PC²+BC²=5²+10²=125，
在Rt△BOE中，BE²=BO²+OE²=8²+6²=100，
在△PEB中，BE²+PE²=100+25=PB²
∴∠PEB=90°．（3分）
∴直線B與⊙P相切．（1分）

（3）連接PQ，
∵⊙Q與⊙P外切，
∴PQ=r+5．（1分）
過Q作QM⊥y軸于M，交CD于N，
∵⊙Q與y軸相切，
∴QM=r．
∴QN=MN-QM=10-r．（1分）
∵M(jìn)Q∥OE，
∴△BMQ∽△BOE．
∴

BM

BO

=

MQ

OE

．
∴BM=

8×r

6

=

4r

3

．
∴NP=NF-PF=MO-PF=BO-BM-PF=5-

4r

3

．（2分）
（另解：直線DE所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-

4

3

x+8，設(shè)Q（r，h），代入得h=-

4

3

r+8，即NF=-

4r

3

+8，從而NP=5-

4r

3

）
∵在Rt△QNP中，QN²+NP²=PQ²∴（10-r）²+（5-

4r

3

）²=（5+r）²
∴16r²-390r+900=0．（1分）
解得：r=

195± 23625

16

=

195±15 105

16

．（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題難度較大，綜合性較強(qiáng)，考查了正方形，直角三角形的性質(zhì)，直線與圓，圓與圓的關(guān)系，切線的判斷，相似三角形的性質(zhì)及函數(shù)知識(shí)．