Question

7．已知拋物線y=-x²+2x+3與x軸正半軸交于A點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)F在拋物線上，且在第二象限，CE⊥OF于點(diǎn)E，連AC、AE．若AE=AC，求直線OF的解析式．

Answer 1

分析 由拋物線解析式求出A和C的坐標(biāo)，由勾股定理得出AE=AC=3$\sqrt{2}$，設(shè)直線OF的解析式為y=kx，則直線CE的解析式為y=-kx+3，解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}&{\;}\\{y=-kx+3}&{\;}\end{array}\right.$求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，作EM⊥x軸于M，由勾股定理得出方程，解方程求出k的值即可．

解答 解：∵y=-x²+2x+3，
當(dāng)y=0時(shí)，-x²+2x+3=0，
解得：x=3或x=-1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）；
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∴AE=AC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
設(shè)直線OF的解析式為y=kx，則直線CE的解析式為y=-kx+3，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}&{\;}\\{y=-kx+3}&{\;}\end{array}\right.$得：x=$\frac{3}{2k}$，y=$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（$\frac{3}{2k}$，$\frac{3}{2}$），
作EM⊥x軸于M，如圖所示：
由勾股定理得：EM²+AM²=AE²，
即（$\frac{3}{2}$）²+（$\frac{3}{2k}$-3）²=（3$\sqrt{2}$）²，
解得：k=$\frac{-2-\sqrt{7}}{3}$或k=$\frac{-2+\sqrt{7}}{3}$（舍去），
∴直線OF的解析式為y=$\frac{-2-\sqrt{7}}{3}$x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、勾股定理、一次函數(shù)解析式的求法等知識(shí)；本題有一定難度，需要通過(guò)作輔助線運(yùn)用勾股定理得出方程才能得出結(jié)果．