Question

16．如圖1，在以O(shè)為原點的平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，2），點P（s，t）在拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+1上，點P到x軸的距離記為m，PA=n．
（1）若s=4，分別求出m、n的值，并比較m與n的大小關(guān)系；
（2）若點P是該拋物線上的一個動點，則（1）中m與n的大小關(guān)系是否仍成立？請說明理由；
（3）如圖2，過點P的直線y=kx（k≠0）與拋物線交于另一點Q連接PA、QA，是否存在k使得PA=2QA？若存在，請求出k的值；若不存在，請舉例說明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線上點的橫坐標代入拋物線解析式中，求出t=5，再用兩點間的距離公式求出PA，即可；
（2）設(shè)出點P（S，$\frac{1}{4}$S²+1），求出m，n即可；
（3）分別過P、Q作PN⊥x軸，QM⊥x軸，由△QOM∽△PON得到ON=2OM，由PN=2QM建立方程，$\frac{1}{4}$（2a）²+1=2（$\frac{1}{4}$a²+1），求出a=$±\sqrt{2}$，再分兩種情況計算即可．

解答 解：（1）∵當s=4時，點P（s，t）在拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+1上，
∴t=5，
∵點P到x軸的距離記為m，
∴m=5，
∴P（4，5）
∵A（0，2），
∴PA=$\sqrt{（4-0）^{2}+（5-2）^{2}}$=5，
∴m=n，
∴m=5，n=5，m=n，
（2）m=n 仍然成立．
設(shè)P（s，$\frac{1}{4}$s²+1），
∴m=$\frac{1}{4}$s²+1，
∴n=$\sqrt{{s}^{2}+（\frac{1}{4}{{s}^{2}+1-2）}^{2}}$=$\frac{1}{4}$s²+1，
∴m=n 仍然成立；
（3）如圖，

分別過P、Q作PN⊥x軸，QM⊥x軸，
∵PA=2QA，
由（2）知，PN=2QM，
∵△QOM∽△PON，
∴ON=2OM，
設(shè)Q（a，$\frac{1}{4}$a²+1），
∴P[2a，$\frac{1}{4}$（2a）²+1]，
由PN=2QM得，$\frac{1}{4}$（2a）²+1=2（$\frac{1}{4}$a²+1），
∴a=$±\sqrt{2}$，
當a=$\sqrt{2}$時，
∴P（2$\sqrt{2}$，3），
∴k=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$；
當a=-$\sqrt{2}$時，
∴∴P（-2$\sqrt{2}$，3），
∴k=-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$；
∴k=±$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了確定拋物線上點的坐標，相似三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是找相等關(guān)系建立方程．