Question

定義1：在△ABC中，若頂點(diǎn)A，B，C按逆時(shí)針方向排列，則規(guī)定它的面積為“有向面積”；若頂點(diǎn)A，B，C按順時(shí)針方向排列，則規(guī)定它的面積的相反數(shù)為△ABC的“有向面積”.“有向面積”用表示，例如圖1中，，圖2中，.

定義2：在平面內(nèi)任取一個(gè)△ABC和點(diǎn)P（點(diǎn)P不在△ABC的三邊所在直線上），稱有序數(shù)組（，，）為點(diǎn)P關(guān)于△ABC的“面積坐標(biāo)”，記作，例如圖3中，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，則，點(diǎn)G關(guān)于△ABC的“面積坐標(biāo)”為.在圖3中，我們知道，利用“有向面積”，我們也可以把上式表示為：.

應(yīng)用新知：

（1）如圖4，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則 ，點(diǎn)D關(guān)于△ABC的“面積坐標(biāo)”是 ；探究發(fā)現(xiàn)：

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，

①若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)任意一點(diǎn)（不在直線AB上），設(shè)點(diǎn)P關(guān)于的“面積坐標(biāo)”為，

試探究與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②若點(diǎn)是第四象限內(nèi)任意一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P關(guān)于的“面積坐標(biāo)”（用x,y表示）；

解決問題：

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，求當(dāng)的值最小時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo).

 

 

Answer 1

（1）；（2）①；②；（3）.

【解析】

試題分析：（1）直接根據(jù)“有向面積”和“ 面積坐標(biāo)”的定義寫出即可.

（2）①分點(diǎn)P在△ABO外部和當(dāng)點(diǎn)P在△ABO內(nèi)部?jī)煞N情況討論即可.

②直接根據(jù) “ 面積坐標(biāo)”的定義寫出即可.

（3）分點(diǎn)Q在第二象限，點(diǎn)Q在第一象限和點(diǎn)Q在y軸上三種情況討論即可.

試題解析：（1）.

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在△ABO外部時(shí)，，

∴.

當(dāng)點(diǎn)P在△ABO內(nèi)部時(shí)，，

∴.

綜上所述，.

②.

（3）∵點(diǎn)Q在拋物線上，∴設(shè).

①當(dāng)點(diǎn)Q在第二象限時(shí)，，由圖6可知，,

由得；

由得.

∴.

∴當(dāng)時(shí)，的最小值為.

②當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限時(shí)，，由圖7可知，,

由得；

由得.

∴.

∴此時(shí)，無(wú)最小值.

③當(dāng)點(diǎn)Q為與y軸的交點(diǎn)時(shí)，Q（0，4），

由圖8可知，，∴.

綜上所述，的最小值為，此時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為.

考點(diǎn)：1.新定義和閱讀型；2.點(diǎn)的坐標(biāo)；3.二次函數(shù)的性質(zhì)；4.分類思想的應(yīng)用.