Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），△AOB的面積是。

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求過點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；
（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C，使△AOC的周長最��？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（4）在（2）中x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)D，線段OD把△AOB分成兩個(gè)三角形，使其中一個(gè)三角形面積與四邊形BPOD面積比為2：3？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）由題意OB=，得OB=2，∴B（-2，0）；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x+2），代入點(diǎn)A（1，），得a=，
∴經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線是y=；
（3）存在點(diǎn)C
∵點(diǎn)O關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)是B，
∴對稱軸與AB的交點(diǎn)就是存在的點(diǎn)C，使得△AOC的周長最小，AB+AO就是△AOC的最小周長
設(shè)直線AB的解析式為y=ax+b（a≠0），用待定系數(shù)法將A、B的坐標(biāo)代入可求得
a=，b=，∴y=，
∵拋物線的對稱軸為x=-1，
∴將x=-1代入AB的解析式即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)（-1，）；
（4）存在；
設(shè)P（x，y），由條件知x＜0，y＜0，
∵S_BPOD=S_△BPO+S_△BOD
=
=
=-
=
∴S_△AOD=S_△AOB-S_△BOD=，
①若S_△AOD=S_BPOD
得，
解得（舍去），
將代入拋物線的解析式可得y=，
∴P，
②若S_△BOD=S_BPOD，
∵S_△BOD=，
∴，
解得，分別代入拋物線的解析式可得，
∴P或P（-2，0），
∵點(diǎn)P在軸下方，
∴P（-2，0）不符合題意舍去，
∴只存在一個(gè)點(diǎn)P（-，-）符合條件