Question

14．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，點E為腰AB的中點，且∠ECD=45°，連接AC與DE交于點F，若AF=3，則FC的長為$\frac{15}{2}$．

Answer 1

分析 延長DE交CB的延長線于N，截取BM=BE，連接EM，通過△ADE≌△BNE，得到AD=BN，設(shè)AE=BE=BM=a，求得BC=2a，EM=$\sqrt{2}$a，推出△CEM∽△ADC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AD}{ME}=\frac{AC}{CM}$，求得AD=$\frac{4}{3}$a，推出△ADF∽△CNF，得到$\frac{AF}{CF}=\frac{AD}{CN}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：延長DE交CB的延長線于N，截取BM=BE，連接EM，
∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠ABN=90°，
在△ADE與△BNE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠EBN}\\{AE=BE}\\{∠AED=∠BEN}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BNE，
∴AD=BN，
設(shè)AE=BE=BM=a，
∴BC=2a，EM=$\sqrt{2}$a，
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=45°，AC=$\sqrt{2}$BC=2$\sqrt{2}$a，
∴∠DAC=∠BME=∠DCE=∠45°，
∴∠CBE=∠DCA，
∴△CEM∽△ADC，
∴$\frac{AD}{ME}=\frac{AC}{CM}$，
即$\frac{AD}{\sqrt{2}a}=\frac{2\sqrt{2}a}{3a}$，
∴AD=$\frac{4}{3}$a，
∴BN=AD=$\frac{4}{3}$a，
∵AD∥CN，
∴△ADF∽△CNF，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{AD}{CN}$，
即$\frac{3}{CF}=\frac{\frac{4}{3}a}{\frac{10}{3}a}$，
∴CF=$\frac{15}{2}$．
故答案為：$\frac{15}{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．