Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD垂直平分OB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AB延長線上，∠AFC=30°。
（1）求證：CF為⊙O的切線；
（2）若半徑ON⊥AD于點(diǎn)M，CE=，求圖中陰影部分的面積。

Answer 1

解：（1）連結(jié)OC、BC， ∵CD垂直平分OB， ∴OC=BC ∵OB=OC， ∴OB=OC=BC ∴△OCB是等邊三角形 ∴∠BOC=60° ∵∠CFO=30°， ∴∠OCE=90° ∴OC⊥CF ∵OC是⊙O的半徑， ∴CF是⊙O的切線；
（2）連結(jié)OD， 由（1）可得∠COF=60°，由圓的軸對(duì)稱性可得∠EOD=60°， ∴∠DOA=120° ∵OM⊥AD，OA=OD， ∴∠DOM=60° 在Rt△COE中CE=，∠ECO=30°，cos∠ECO=， ∴OC=2 ∴S扇形OND=π， ∴S△OMD= ∴S陰影=S扇形OND-S△OMD=。