Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-1，2），（3，2），點(diǎn)B在x軸上，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)．
（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)S_△PAB=

5

4

S_△ABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)N由點(diǎn)B出發(fā)，以每秒

6

5

個(gè)單位的速度沿邊BC、CA向點(diǎn)A移動(dòng)，

1

3

秒后，點(diǎn)M也由點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段BO向點(diǎn)O移動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也停止移動(dòng)，點(diǎn)N的移動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)MN⊥AB時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值，不必寫出解答過程．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，把（-1，2），（3，2）代入y=-x²+bx+c計(jì)算即可；
（2）先求出 y_AB=-

1

2

x+

3

2

，再求出

5

4

S_△ABC=5，分兩種情況討論：
當(dāng)P在AB上方時(shí)，根據(jù)S_△PAB=S_△PAQ+S_△PBQ=2PQ得出2[（-x²+2x+5）-（-

1

2

x+

3

2

）]=5；
當(dāng)P在AB下方時(shí)，根據(jù)S_△PAB=S_△PQB-S_△PQA=2PQ得出2[（-

1

2

x+

3

2

）-（-x²+2x+5）]=5，再分別求解即可；
（3）當(dāng)點(diǎn)N在BC上時(shí)，設(shè)MN與AB交于點(diǎn)D，若MN⊥AB，根據(jù)△BMN∽△CBA，得出

BN

CA

=

BM

BC

，再根據(jù)BN=

6

5

5t，BM=t-

1

3

，得出

6 5 t

4

=

t- 1 3

2

，當(dāng)點(diǎn)N在CA上時(shí)，設(shè)MN與AB交于點(diǎn)D，過點(diǎn)N作NE⊥x軸于點(diǎn)E，則CN=EB，根據(jù)△ACB∽△NEM，得出

AC

NE

=

CB

EM

，求出EM=1，再求出EB=t-

4

3

，再根據(jù)CN=

6

5

t-2，得出

6

5

t-2=t-

4

3

，再分別求出t即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，
∴把（-1，2），（3，2）代入得：

-1-b+c=2 -9+3b+c=2

，
解得：

b=2 c=5

，
∴該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x²+2x+5；
（2）由A（-1，2）B（3，0）可得：y_AB=-

1

2

x+

3

2

，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×4×2=4，
∴

5

4

S_△ABC=

5

4

×4=5，
如圖1，當(dāng)P在AB上方時(shí)，
S_△PAB=S_△PAQ+S_△PBQ=

1

2

PQ•AE+

1

2

PQ•CE=

1

2

PQ•AC=

1

2

•PQ×4=2PQ=2[（-x²+2x+5）-（-

1

2

x+

3

2

）]=5，
解得：x₁=

5+ 41

4

，x₂=

5- 41

4

，
則P₁（

5+ 41

4

，

27- 41

8

）P₂（

5- 41

4

，

27+ 41

8

）
如圖2，當(dāng)P在AB下方時(shí)，
S_△PAB=S_△PQB-S_△PQA=

1

2

PQ•BG-

1

2

PQ•GF=

1

2

PQ•AC=

1

2

•PQ×4=2PQ=2[（-

1

2

x+

3

2

）-（-x²+2x+5）]=5，
解得：x₁=-

3

2

，x₂=4，
則P₃（-

3

2

，-

1

4

），P₄（4，-3），
綜上所述：P₁（

5+ 41

4

，

27- 41

8

），P₂（

5- 41

4

，

27+ 41

8

），P₃（-

3

2

，-

1

4

），P₄（4，-3）；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)N在BC上時(shí)，設(shè)MN與AB交于點(diǎn)D，
若MN⊥AB，
∵∠BDN=∠BCA，∠B=∠B，
∴∠BND=∠BAC，
∵∠MBC=∠ACB=90°，
∴△BMN∽△CBA，
∴

BN

CA

=

BM

BC

，
∵BN=

6

5

5t，BM=t-

1

3

，
∴

6 5 t

4

=

t- 1 3

2

，
∴t=

5

6

（秒），
如圖4，當(dāng)點(diǎn)N在CA上時(shí)，設(shè)MN與AB交于點(diǎn)D，
過點(diǎn)N作NE⊥x軸于點(diǎn)E，則CN=EB，
若MN⊥AB，則∠A=∠MNE，
∵∠ACB=∠MEN，
∴△ACB∽△NEM，
∴

AC

NE

=

CB

EM

，
∴

4

2

=

2

EM

，
∴EM=1，
∴EB=MB-EM=t-

1

3

-1=t-

4

3

，
∵CN=

6

5

t-2，∴

6

5

t-2=t-

4

3

，
∴t=

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)、三角形的面積、矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意分類討論思想的運(yùn)用，不要漏解．