Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=-x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,直線y=x+6經(jīng)過A、C兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是第二象限拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥AC,PQ交直線BC于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m,求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，作點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)點(diǎn)K,連接QK,當(dāng)點(diǎn)K落在直線y=-x上時(shí)，求線段QK的長.

Answer 1

【答案】(1) y=-x2-x+6；（2）m=t2+t；（3）.

【解析】試題分析:(1)先根據(jù)一次函數(shù)求出A,C點(diǎn)坐標(biāo),然后把A,C代入二次函數(shù)解析式解方程組即可求出二次函數(shù)解析式,(2)根據(jù)PQ∥AC,求可得PQ所在直線解析式中的k,根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)可表示PQ的直線解析式,然后再聯(lián)立PQ和BC即可求解,(3)先根據(jù)點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)K,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)K,然后代入直線y=－x,可求出點(diǎn)K,然后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可求解QK.

試題解析:(1) 因?yàn)橹本�y=x+6經(jīng)過A,C兩點(diǎn),

所以A(－6,0),C(0,6),

因?yàn)閽佄锞�y=x2+bx+c經(jīng)過A,C兩點(diǎn),把A(－6,0),C(0,6)代入可得:

,

解得: ,

所以二次函數(shù)解析式為: ,

(2)因?yàn)?/span>P點(diǎn)在拋物線上,所以P點(diǎn)坐標(biāo)是(t, ),Q點(diǎn)在直線BC上,

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,根據(jù)題意可得:

,解得: ,

所以直線BC的解析式為: y=－2x+6,

因?yàn)?/span>PQ∥AC,

所以可得為: 解得: ,

所以直線PQ的直線解析式為: y=x+,

將直線PQ和直線BC聯(lián)立可求得Q的橫坐標(biāo):

－2x+6= x+,

－3x=,

x= ,

所以m= ,

(3)根據(jù)題意可得:直線QK于直線AC垂直,可得:

,解得:

所以直線QK的解析式為: y=－x+,

聯(lián)立直線QK和直線AC,可求得兩直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo):

－x+= x+6,

解得: x=,

所以交點(diǎn)縱坐標(biāo)為: y=,

根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得K的坐標(biāo)為(,),

因?yàn)?/span>K在y=－x上,

所以,解得:

因?yàn)?/span>Q的坐標(biāo)為(,), K的坐標(biāo)為(,),

根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式可得:

QK==.

點(diǎn)睛:本題主要考查二次函數(shù)圖象性質(zhì),一次函數(shù)圖像性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是能夠用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式,并聯(lián)立二次函數(shù)解析式求函數(shù)的交點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵.