Question

如圖，在▱ABCD中，E是AD上一點，連接BE，F為BE中點，且AF=BF，

（1）求證：四邊形ABCD為矩形；

（2）過點F作FG⊥BE，垂足為F，交BC于點G，若BE=BC，S_△BFG=5，CD=4，求CG．

　

Answer 1

考點：

矩形的判定與性質；勾股定理；平行四邊形的性質．

分析：

（1）求出∠BAE=90°，根據矩形的判定推出即可；

（2）求出△BGE面積，根據三角形面積公式求出BG，得出EG長度，根據勾股定理求出GH，求出BE，得出BC長度，即可求出答案．

解答：

（1）證明：∵F為BE中點，AF=BF，

∴AF=BF=EF，

∴∠BAF=∠ABF，∠FAE=∠AEF，

在△ABE中，∠BAF+∠ABF+∠FAE+∠AEF=180°，

∴∠BAF+∠FAE=90°，

又四邊形ABCD為平行四邊形，

∴四邊形ABCD為矩形；

（2）解：連接EG，過點E作EH⊥BC，垂足為H，

∵F為BE的中點，FG⊥BE，

∴BG=GE，

∵S_△BFG=5，CD=4，

∴S_△BGE=10=BG•EH，

∴BG=GE=5，

在Rt△EGH中，GH==3，

在Rt△BEH中，BE==4=BC，

∴CG=BC﹣BG=4﹣5．

點評：

本題考查了矩形的判定，勾股定理，三角形的面積，線段垂直平分線性質等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力，題目比較好，有一定的難度．