Question

如圖①，ABCD是一張矩形紙片，AD=BC=1cm，AB=CD=5cm．在矩形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)M，在CD上取一點(diǎn)N，將紙片沿MN折疊，MB與DN交于點(diǎn)K，得到△MNK．
（1）若∠1=70°，求∠MKN的度數(shù)；
（2）△MNK的面積能否小于

1

2

？若能，求出此時∠1的度數(shù)；若不能，說明理由；
（3）如何折疊能使△MNK的面積最大？請利用圖②探究可能出現(xiàn)的情況，求出最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）證明∠MKN=∠KMA；證明∠KMN=∠1=70°，即可解決問題．
（2）如圖1，作輔助線；證明MK＞1；證明NK=MK＞1，運(yùn)用三角形的面積公式即可解決問題．
（3）如圖2，證明MK=MQ（設(shè)為λ），得到AM=5-λ；列出關(guān)于λ的方程（5-λ）²+1²=λ²，求出λ即可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD為矩形，
∴DN∥AM，∠MKN=∠KMA；
由題意得：∠KMN=∠1=70°，
∴∠KMA=180°-140°=40°，
∴∠MKN=40°．
（2））△MNK的面積不能小于

1

2

；理由如下：
如圖1，過點(diǎn)M作MP⊥KN；則MP=1；
由題意得MK＞1，∠KMN=∠1；
∵KN∥AM，
∴∠KNM=∠1，∠KMN=∠KNM，
∴NK=MK＞1，
∴S△MNK=

1

2

NK•MP＞

1

2

．
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時，△MNK的面積最大；
由題意得：MK=MQ（設(shè)為λ），則AM=5-λ；
由勾股定理得：（5-λ）²+1²=λ²，
解得：λ=2.6；由（1）知：
NK=MK=2.6，MP=1，
∴S△MNK=

1

2

×NK•MP=1.3．

點(diǎn)評：該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題；應(yīng)牢固掌握翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點(diǎn)．