Question

如果自然數a，b，c滿足a²+b²=c²，求證：
（1）a，b中至少有一個是偶數；
（2）a，b中至少有一個是3的倍數；
（3）a，b，c中至少有一個是5的倍數．

Answer 1

證明：運用反證法證明．
（1）假設a、b都是奇數，則c為偶數，c²為4的倍數，
設a=2m+1，b=2n+1（m、n為整數），
則a²+b²=（2m+1）²+（2n+1）²=2（2m²+2n²+2m+2n+1）
為2的奇數倍，不是4的倍數，與題設矛盾，
∴a，b中至少有一個是偶數；

（2）假設a、b都不是3的倍數，則a、b被3除余數為1或2，
a²+b²被3除余數為2，即為3m+2（m為整數），
而3m+2不是完全平方式，故假設不成立，
∴a，b中至少有一個是3的倍數；

（3）假設a、b、c都不是5的倍數，
∵完全平方數除以5余數只能0，1，4，
則a²，b²，c²，被5除后余數只能是1、1、1或1、1、4或1、4、4或4、4、4，
這些都不能使a²+b²=c²成立，
∴a、b、c不能同時不整除5．