Question

如圖，矩形CDEF是由矩形ABCG（AB＜BC）繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得，∠APE的頂點(diǎn)在線段BD上移動(dòng)，則能夠使∠APE為直角的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是

2

．

Answer 1

分析：要判斷直角頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)，只要判定以AE為直徑的圓與線段BD的位置關(guān)系即可，相交時(shí)有2個(gè)點(diǎn)，相切時(shí)有1個(gè)，外離時(shí)有0個(gè)，不會(huì)出現(xiàn)更多的點(diǎn)．

解答：解：設(shè)兩個(gè)矩形的長(zhǎng)是a，寬是b．連接AE，如圖在△AEM中，
根據(jù)勾股定理可得：
AE²=（a+b）²+（a-b）²=2a²+2b²；
過(guò)AE的中點(diǎn)M作MN⊥BD于點(diǎn)N．則MN是梯形ABDE的中位線，
則MN=

1

2

（a+b）；
以AE為直徑的圓，半徑是：

2(a2+b2)

2

．

1

2

（a+b）=

1

2

a+

1

2

b≤

2(a2+b2)

2

，
而只有a=b是等號(hào)才成立，

a2+b2

2

因而

1

2

（a+b）＜

2(a2+b2)

2

，
即圓與直線BD相交，則直角頂點(diǎn)P的位置有兩個(gè)．
故答案是：2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要是根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，把判定頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系的問(wèn)題來(lái)解決．