Question

2．如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（2，0），B（-4，0），與y軸交于C（0，8）．
（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E，線段OB的垂直平分線交直線CD于Q．問(wèn)，線段OB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線CD的距離PM等于點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，交直線CD于點(diǎn)F，將拋物線沿其對(duì)稱軸上下平移，使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn)，試探究：拋物線向上最多可平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度？向下最多可平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度？

Answer 1

分析 （1）設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+4）（x-2），然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a的值即可得到拋物線解析式為，再把解析式配成頂點(diǎn)式即可得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)P（-2，t），利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式為y=-x+8，則可得到E點(diǎn)和Q點(diǎn)坐標(biāo)，于是可△OCE為等腰直角三角形得到∠OCE=45°，接著判斷△PQM為等腰直角三角形得到PQ=$\sqrt{2}$PM，然后利用PQ=|10-t|，PM=PO=$\sqrt{{2}^{2}+{t}^{2}}$建立方程|10-t|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{4+{t}^{2}}$解方程求出t即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）先確定F（-4，12），設(shè)平移后的拋物線解析式為y=-x²-2x+8+m，當(dāng)方程-x²-2x+8+m=-x+8有相等實(shí)數(shù)解時(shí)，平移后的拋物線與線段EF只有一個(gè)公共點(diǎn)，則利用判別式判別式的意義可解出m=-$\frac{1}{4}$，再分別計(jì)算平移的拋物線過(guò)點(diǎn)E和F所對(duì)應(yīng)的m的值，然后根據(jù)拋物線的幾何變換可判斷拋物線向上最多可平移的單位長(zhǎng)度和向下最多可平移的單位長(zhǎng)度．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+4）（x-2），
把C（0，8）代入得a•4•（-2）=8，解得a=-1，
所以拋物線解析式為y=-（x+4）（x-2），即y=-x²-2x+8，
因?yàn)閥=-（x+1）²+9，
所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，9）；
（2）存在．
線段OB的垂直平分線為直線x=-2，設(shè)P（-2，t），
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
把C（0，8），D（-1，9）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{-k+b=9}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
所以直線CD的解析式為y=-x+8，
當(dāng)x=-2時(shí)，y=-x+8=10，則Q（-2，10），
當(dāng)y=0時(shí)，-x+8=0，解得x=8，則E（8，0），
∴△OCE為等腰直角三角形，
∴∠OCE=45°，
∵PQ∥OC，
∴∠PQE=∠OCE=45°，
而PM⊥CD于M．
∴△PQM為等腰直角三角形，
∴PQ=$\sqrt{2}$PM，
∵PQ=|10-t|，PM=PO=$\sqrt{{2}^{2}+{t}^{2}}$，
∴|10-t|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{4+{t}^{2}}$，
整理得t²+20t-92=0，解得t₁=-10+8$\sqrt{3}$，t₂=-10-8$\sqrt{3}$，
∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-10+8$\sqrt{3}$）或（-2，-10-8$\sqrt{3}$）；
（3）當(dāng)x=-4時(shí)，y=-x+8=12，則F（-4，12），
設(shè)平移后的拋物線解析式為y=-x²-2x+8+m，
當(dāng)方程-x²-2x+8+m=-x+8，即x²+x-m=0有相等實(shí)數(shù)解時(shí)，平移后的拋物線與線段EF只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以△=1²-4（-m）=0，解得m=-$\frac{1}{4}$；
當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)E（8，0）時(shí)，-64-16+8+m=0，解得m=72，
當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)F（-4，12）時(shí)，-16+8+8+m=12，解得m=12，
所以拋物線向上最多可平移72個(gè)單位長(zhǎng)度，向下最多可平移$\frac{1}{4}$個(gè)單位長(zhǎng)度．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；靈活應(yīng)用等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行幾何計(jì)算；利用拋物線的幾何變換．