Question

如果一條拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以該拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”．
（1）“拋物線三角形”一定是

 

三角形；
（2）若拋物線的“拋物線三角形”是直角三角形，求b的值；
（3）若拋物線y=-x²-bx與x軸交于原點(diǎn)O和點(diǎn)B，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A，△ABO是“拋物線三角形”，是否存在以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的矩形？若存在，求出過(guò)三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）拋物線的頂點(diǎn)必在拋物線與x軸兩交點(diǎn)連線的垂直平分線上，因此這個(gè)“拋物線三角形”一定是等腰三角形．
（2）觀察拋物線的解析式，它的開(kāi)口向下且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，由于b＞0，那么其頂點(diǎn)在第一象限，而這個(gè)“拋物線三角形”是等腰直角三角形，必須滿足頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫、縱坐標(biāo)相等，以此作為等量關(guān)系來(lái)列方程解出b的值．
（3）由于矩形的對(duì)角線相等且互相平分，所以若存在以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心的矩形ABCD，那么必須滿足OA=OB，結(jié)合（1）的結(jié)論，這個(gè)“拋物線三角形”必須是等邊三角形，首先用b′表示出AE、OE的長(zhǎng)，通過(guò)△OAB這個(gè)等邊三角形來(lái)列等量關(guān)系求出b′的值，進(jìn)而確定A、B的坐標(biāo)，即可確定C、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)即可求出過(guò)O、C、D的拋物線的解析式．

解答：解：（1）如圖；
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，拋物線的頂點(diǎn)A必在O、B的垂直平分線上，所以O(shè)A=AB，即：“拋物線三角形”必為等腰三角形．
故答案為：等腰；
（2）
∵“拋物線三角形”是直角三角形，
∴此“物線三角形”是等腰直角三角形，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（b，

b2

4

），
把y=0代入得解得x=0或b
根據(jù)題意得

b2

4

=

1

2

b
∴b=0或2（0舍去），
∴b=2                        
（3）存在．
當(dāng)b＜0時(shí)，作AH⊥OB于H點(diǎn)，如圖，
把y=0代入y=-x²-bx得解得x₁=0，x₂=-b′，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-b′，0），
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（

b

2

，

b2

4

）
∵矩形ABCD以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心，
∴OA=OB=OC=OD，
∴△OAB為等邊三角形，
∴AH=

b2

4

解得b₁′=0，b₂2

3

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

，-3），B點(diǎn)坐標(biāo)為（-2

3

，0）
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，3），D點(diǎn)坐標(biāo)為（2

3

，0)
設(shè)過(guò)O、C、D三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax（x-2

3

），
把C（

3

，3）代入得a=-1，
∴所求拋物線的表達(dá)式為y=-x²+2

3

，
同理，當(dāng)b＞0時(shí)，y=-x²-2

3

x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，并且根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定幾何圖形的性質(zhì)和確定點(diǎn)的坐標(biāo)；會(huì)運(yùn)用等腰直角三角形、等邊三角形和矩形的性質(zhì)建立等量關(guān)系，將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題．