Question

19．如圖，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-4）的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸相交于A（-2，0），B兩點(diǎn)．
（1）a＞0，b²-4ac＞0（填“＞”或“＜”）；
（2）若該拋物線關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，連接AC，E是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AC的平行線交x軸于點(diǎn)F．是否存在這樣的點(diǎn)E，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線開(kāi)口向上，且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即可做出判斷；
（2）由拋物線的對(duì)稱(chēng)軸及A的坐標(biāo)，確定出B的坐標(biāo)，將A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a，b，c的值，即可確定出拋物線解析式；
（3）存在，理由為：假設(shè)存在點(diǎn)E使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)C作CE∥x軸，交拋物線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC，交x軸于點(diǎn)F，如圖1所示；假設(shè)在拋物線上還存在點(diǎn)E′，使得以A，C，F(xiàn)′，E′為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)E′作E′F′∥AC交x軸于點(diǎn)F′，則四邊形ACF′E′即為滿足條件的平行四邊形，可得AC=E′F′，AC∥E′F′，如圖2，過(guò)點(diǎn)E′作E′G⊥x軸于點(diǎn)G，分別求出E坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）a＞0，b²-4ac＞0；
（2）∵直線x=2是對(duì)稱(chēng)軸，A（-2，0），
∴B（6，0），
∵點(diǎn)C（0，-4），將A，B，C的坐標(biāo)分別代入y=ax²+bx+c，
解得：a=$\frac{1}{3}$，b=-$\frac{4}{3}$，c=-4，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-4；
（3）存在，理由為：
（i）假設(shè)存在點(diǎn)E使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形，
過(guò)點(diǎn)C作CE∥x軸，交拋物線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC，交x軸于點(diǎn)F，如圖1所示，

則四邊形ACEF即為滿足條件的平行四邊形，
∵拋物線y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-4關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，
∴由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，
又∵OC=4，
∴E的縱坐標(biāo)為-4，
∴存在點(diǎn)E（4，-4）；
（ii）假設(shè)在拋物線上還存在點(diǎn)E′，使得以A，C，F(xiàn)′，E′為頂點(diǎn)所組成的四邊形是
平行四邊形，過(guò)點(diǎn)E′作E′F′∥AC交x軸于點(diǎn)F′，
則四邊形ACF′E′即為滿足條件的平行四邊形，
∴AC=E′F′，AC∥E′F′，如圖2，過(guò)點(diǎn)E′作E′G⊥x軸于點(diǎn)G，

∵AC∥E′F′，∴∠CAO=∠E′F′G，
又∵∠COA=∠E′GF′=90°，AC=E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，
∴E′G=CO=4，∴點(diǎn)E′的縱坐標(biāo)是4，
∴4=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-4，
解得：x₁=2+2$\sqrt{7}$，x₂=2-2$\sqrt{7}$，
∴點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（2+2$\sqrt{7}$，4），同理可得點(diǎn)E″的坐標(biāo)為（2-2$\sqrt{7}$，4）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定拋物線解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．