Question

如圖，直線與x軸，y軸分別相交于點B，點C，經(jīng)過B、C兩點的拋物線與x軸的另一交點為A，頂點為P，且對稱軸是直線．

（1）求A點的坐標(biāo)及該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）求出∆PBC的面積；

（3）請問在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點Q，使得以點A、B、C、Q所圍成的四邊形面積是∆PBC的面積的？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）（1，0），．（2）3；（3）或

【解析】

試題分析：（1）先由直線y=-x+3與x軸，y軸分別相交于點B，點C，求出B（3，0），C（0，3），再根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2，求出與x軸的另一交點A的坐標(biāo)為（1，0），然后將A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c，運用待定系數(shù)法即可求出該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）先利用配方法將二次函數(shù)寫成頂點式，得到頂點P的坐標(biāo)，再設(shè)拋物線的對稱軸交直線y=-x+3于點M，由PM∥y軸，得出M的坐標(biāo)，然后根據(jù)S△PBC=•PM•|xC-xB|即可求出△PBC的面積；

（3）設(shè)Q（m，m2-4m+3），首先求出以點A、B、C、Q所圍成的四邊形面積=S△PBC=×3=．再分兩種情況進行討論：①當(dāng)點Q在PB段時，由S四邊形ACBQ=S△ABC+S△ABQ=3+|yQ|，得出|yQ|=-3=，即-m2+4m-3=，解方程求出m的值，得到Q1的坐標(biāo)；②當(dāng)點Q在BE段時，過Q點作QH⊥x軸，交直線于H，連結(jié)BQ．由S四邊形ACQB=S△ABC+S△CBQ=3+（m2-3m），得出（m2-3m）=-3=，解方程求出m的值，得到Q2的坐標(biāo)．

試題解析：（1）直線與x軸相交于點，

∴當(dāng)時，，

∴點的坐標(biāo)為．

又∵拋物線過軸兩點，且對稱軸為，根據(jù)拋物線的對稱性，

∴點的坐標(biāo)為．

∵過點，易知，

∴．

又∵拋物線過點，

∴解得

∴．

（2）連結(jié)PB、PC，

由，得，

設(shè)拋物線的對稱軸交直線于點，

又∵PM∥y軸，則,

則

（3）由圖可知，點Q應(yīng)分為兩種情況，在PB段或在BE段。

又

設(shè)

當(dāng)點Q在PB段時，,

∴，可知

∴，即，

解之，得,

又點Q在對稱軸的右側(cè)，則，

∴

當(dāng)點Q在BE段時，過Q作QH⊥x軸，交直線于H，連結(jié)BQ，則設(shè)

,

又,

∴，解之，得

又點Q在對稱軸的右側(cè)，則，

∴

綜上所述，當(dāng)或時，點A、B、C、Q所圍成的四邊形面積是∆PBC的面積的．

考點：二次函數(shù)綜合題．