Question

13．已知a+$\frac{1}{a}$=$\sqrt{5}$（a＞1），求：
（1）a-$\frac{1}{a}$的值；
（2）$\frac{{a}^{2}}{{a}^{4}{+a}^{2}+1}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用完全平方公式可以求解．
（2）利用倒數法解決．

解答 解：（1）∵a+$\frac{1}{a}$=$\sqrt{5}$，
∴（a+$\frac{1}{a}$）²=（$\sqrt{5}$）²，
∴a²+2+$\frac{1}{{a}^{2}}$=5，
∴a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=3，
∴a²-2+$\frac{1}{{a}^{2}}$=1，
∴（a-$\frac{1}{a}$）²=1，
∴a-$\frac{1}{a}$=±1，
∵a＞1，
∴a-$\frac{1}{a}$=1．
（2）∵a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=3，
∴$\frac{{a}^{4}+{a}^{2}+1}{{a}^{2}}$=a²+1+$\frac{1}{{a}^{2}}$=4，
∴$\frac{{a}^{2}}{{a}^{4}+{a}^{2}+1}$=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查完全平方公式、倒數法，熟練運用公式是解決問題的關鍵．