Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，連接，．

（1）求拋物線表達(dá)式；

（2）點(diǎn)是第三象限內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)，若與全等，請直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)______；

（3）若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段向點(diǎn)作勻速運(yùn)動，速度為每秒1個(gè)單位長度，同時(shí)線段上另一個(gè)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段向點(diǎn)作勻速運(yùn)動，速度為每秒2個(gè)單位長度(當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動)．過點(diǎn)作軸的垂線，與直線交于點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使得，以為邊，在左側(cè)作等邊三角形(當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)、點(diǎn)也隨之運(yùn)動)．過點(diǎn)作軸的垂線，與直線交于點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使得，以為邊，在的右側(cè)作等邊三角形(當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)、點(diǎn)也隨之運(yùn)動)．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動秒時(shí)，有一條邊所在直線恰好過的重心，直接寫出此刻的值____________．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）或

【解析】

（1）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，可求得；

（2）存在2種情況，一種是△AOB≌△AOC，則點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；另一種是△AOB≌△OAC，則OC∥AB，AC∥BO，聯(lián)立直線AC和OC的解析式，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）有2大類情況，一種是點(diǎn)D在點(diǎn)H的左側(cè)，還有一種是點(diǎn)D在點(diǎn)H的右側(cè)，畫圖可得出只有點(diǎn)D在點(diǎn)H的左側(cè)有可能．又分為3種情況，一種是DF過△HMN的重心，第二種是GF過△HMN的重心，第三種是GD過△HMN的重心．

（1）∵拋物線過點(diǎn)A(－5，0)，B(，)

∴，

解得：，

∴拋物線解析式為：；

（2）情況一：△AOB≌△AOC，圖形如下

從圖形易知，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱

∵B(，)，∴C(，)；

情況二：△AOB≌△OBC，圖形如下

∴∠BAO=∠AOC，∠BOA=∠CAO

∴AB∥CO，BO∥AC

∵A(－5，0)，B(，)

∴直線AB的解析式為：y=

直線OB的解析式為：y=

∴OC的解析式為：y=

AC的解析式設(shè)為：y=，將點(diǎn)A代入得：y=

聯(lián)立OC和AC的解析，解得：x=，y=

∴C(，)；

（3）當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)H的左側(cè)時(shí)，即5＞3t，t＜時(shí)，圖形如下

根據(jù)題意可知

D(－t，0)，H(2t－5，0)

∵OB的解析式為：y=

∴E(－t，)，F(－t，)，L(2t－5，)，M(2t－5，)

∴MH=，HD=5－3t，FD=

∵△GFD是等邊三角形，∴易知FD∥MH，FG∥HN，GD∥MN

情況一：當(dāng)DF過△MHN的重心時(shí)，圖形如下，連接LN，交FD于點(diǎn)O

則點(diǎn)O為△MHN的重心

∴ON：OL=2：1，∴OL=

∵△HMN是等邊三角形

∴NL=MH=5t

∵OL=HD=5－3t

∴5－3t=

解得：t=(成立)；

情況二：FG過△HMN的重心，如下圖，GF交HM于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作FD的垂線，交FD于點(diǎn)Q，過點(diǎn)M作HN的垂線，交GF于點(diǎn)O，交HN于點(diǎn)R

則點(diǎn)O為△HNM的中線，∴MO：OR=2:1

易知△MOP∽△MRH，∴MP：PH=2:1

∴PH=

由題意可知，PQ=HD=5－3t，∠FPQ=30°

∴在Rt△FPQ中，FQ=

∴QD=FD－FQ=

∴PH=QD=

∴

解得：t=(成立)；

情況三：DG過△MHN的重心，如下圖，HN與GD交于點(diǎn)S，過點(diǎn)S作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)T

易知∠SDH=∠SHD=30°，∠HSD=120°，HD=5－3t

則在Rt△SHR中，HT=，ST=，SH=

同理：SH=

∴

t=－5(舍)

綜上得：t=或t=．