Question

17．如圖1和圖2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=$\frac{5}{13}$．
探究：如圖1，AH⊥BC于點H，則AH=12，AC=15，△ABC的面積S_△ABC=84．
拓展：如圖2，點D在AC上（可與點A、C重合），分別過點A、C作直線BD的垂線，垂足為E、F，設(shè)BD=x，AE=m，CF=n，（當點 D與A重合時，我們認為S_△ABD=0）．
（1）用含x、m或n的代數(shù)式表示S_△ABD及S_△CBD；
（2）求（m+n）與x的函數(shù)關(guān)系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點D，指出這樣的x的取值范圍．
發(fā)現(xiàn)：請你確定一條直線，使得A、B、C三點到這條直線的距離之和最小（不必寫出過程），并寫出這個最小值．

Answer 1

分析 探究：先在直角△ABH中，由AB=13，cos∠ABC=$\frac{5}{13}$，可得AH=12，BH=5，則CH=9，再解直角△ACH，即可求出AC的值，最后根據(jù)三角形的面積公式即可求出S_△ABC的值；
拓展：（1）由三角形的面積公式即可求解；
（2）首先由（1）可得m=$\frac{2{S}_{△ABD}}{x}$，n=$\frac{2{S}_{△CBD}}{x}$，再根據(jù)S_△ABD+S_△CBD=S_△ABC=84，即可求出（m+n）與x的函數(shù)關(guān)系式，然后由點D在AC上（可與點A，C重合），可知x的最小值為AC邊上的高，最大值為BC的長；
（3）由于BC＞BA，所以當以B為圓心，以大于$\frac{56}{5}$且小于13為半徑畫圓時，與AC有兩個交點，不符合題意，故根據(jù)點D的唯一性，分兩種情況：①當BD為△ABC的邊AC上的高時，D點符合題意；②當AB＜BD≤BC時，D點符合題意；
發(fā)現(xiàn)：由于AC＞BC＞AB，所以使得A、B、C三點到這條直線的距離之和最小的直線就是AC所在的直線．

解答 探究：
解：∵在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=$\frac{5}{13}$，
∴$\frac{BH}{AB}$=$\frac{5}{13}$，
∴BH=5，
∴AH=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴HC=9，AC=$\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}}$=15，
∴△ABC的面積S_△ABC=$\frac{1}{2}$×12×14=84；
故答案為：12，15，84；
拓展：
解：（1）由三角形面積公式得出：S_△ABD=$\frac{1}{2}$mx，S_△CBD=$\frac{1}{2}$nx；
（2）∵m=$\frac{2{S}_{△ABD}}{x}$，n=$\frac{2{S}_{△CBD}}{x}$，
∴m+n=$\frac{2{S}_{△ABD}}{x}$+$\frac{2{S}_{△CBD}}{x}$=$\frac{168}{x}$，
∵AC邊上的高為：$\frac{2{S}_{△ABC}}{15}$=$\frac{2×84}{15}$=$\frac{56}{5}$，
∴x的取值范圍為：$\frac{56}{5}$≤x≤14，
∵（m+n）隨x的增大而減小，
∴x=$\frac{56}{5}$時，（m+n）的最大值為：15；
當x=14時，（m+n）的最小值為12；
（3）x的取值范圍是x=$\frac{56}{5}$或13＜x≤14，
發(fā)現(xiàn)：
解：∵AC＞BC＞AB，
∴過A、B、C三點到這條直線的距離之和最小的直線就是AC所在的直線，AC邊上的高的長為 $\frac{56}{5}$．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面積，反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，本題綜合性較強，有一定難度．