Question

如圖，直線AP的解析式y(tǒng)=kx+4k分別交于x軸、y軸于A、C兩點，與反比例函數(shù)y=

6

x

（x＞0）交于點P．且PB⊥x軸于B點，S_△PAB=9．
（1）求一次函數(shù)解析式；
（2）點Q是x軸上的一動點，當(dāng)QC+QP的值最小時，求Q點坐標(biāo)；
（3）設(shè)點R與點P同在反比例函數(shù)的圖象上，且點R在直線PB的右側(cè)，作RT⊥x軸于T點，交AC于點M，是否存在點R，使得△BTM與△AOC全等？若存在，求點R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,存在型,待定系數(shù)法

分析：（1）由直線AP解析式得到直線恒過A（-4，0），得到OA=4，設(shè)OB=a，PB=b，由P在反比例圖象上得到ab=6，再由OA+OB表示出AB，根據(jù)AB與PB乘積的一半表示出三角形PAB面積，根據(jù)已知三角形PAB的面積求出a與b的值，確定出P坐標(biāo)，將P代入直線AP解析式求出k的值即可；
（2）找出C關(guān)于x軸的對稱點C′，連接PC′與x軸交于點Q，確定出直線PC′解析式，求出與x軸交點即可確定出Q坐標(biāo)；
（3）由直線AP解析式求出OA與OC的長，若△BTM與△AOC全等，則有BT=OC，MT=OA，確定出M坐標(biāo)，代入直線AP檢驗即可得到結(jié)果．

解答：解：（1）直線AP解析式y(tǒng)=kx+4k=k（x+4），
得到A（-4，0），即OA=4，
設(shè)OB=a，PB=b，即P（a，b），
代入反比例解析式得：ab=6，
∵S_△PAB=

1

2

AB•PB=9，
∴

1

2

（a+4）b=9，即ab+4b=6+4b=18，
解得：a=2，b=3，即P（2，3），
將P（2，3）代入直線y=kx+4k中得：3=2k+4k，
解得：k=

1

2

，
則直線AP解析式為y=

1

2

x+2；
（2）對于直線y=

1

2

x+2，令x=0，得到y(tǒng)=2，即C（0，2），OC=2，
找出C關(guān)于x軸的對稱點C′（0，-2），連接PC′，交x軸與Q點，此時QC+QP最短，
設(shè)直線C′P解析式為y=mx+n，
將P（2，3）與C′（0，-2）代入得：

2m+n=3 n=-2

，
解得：m=2.5，n=-2，
∴直線C′P解析式為y=2.5x-2，
令y=0，得到x=0.8，即Q（0.8，0）；
（3）若△BTM≌△COA，則有BT=OC=2，MT=OA=4，
∴OT=OB+BT=2+2=4，即M（4，4），
將x=4代入直線OP解析式得：y=

1

2

×4+2=2+2=4，即M在直線AP上，
將x=4代入反比例解析式得：y=

6

4

=1.5，
此時R坐標(biāo)為（4，1.5）．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．