Question

11．如圖，拋物線y=-x²+bx+c過點(diǎn)B（3，0），C（0，3），D為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式以及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如果點(diǎn)C關(guān)于拋物線y=-x²+bx+c對稱軸的對稱點(diǎn)為E點(diǎn)，連接BC，BE，求tan∠CBE的值；
（3）點(diǎn)M是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，且△DAM和△BCE相似，求點(diǎn)M坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求拋物線，然后把解析式配成頂點(diǎn)式，從而得到D的坐標(biāo)；
（2）先利用拋物線的對稱性得到E（2，3），作EH⊥BC于H，如圖1，易得△OBC為等腰直角三角形得到∠OCB=45°，BC=$\sqrt{2}$OB=3$\sqrt{2}$，接著判斷△CHE為等腰直角三角形得到CH=EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE=$\sqrt{2}$，所以BH=2$\sqrt{2}$，然后利用正切的定義求解；
（3）直線x=-1交x軸于F，如圖2，解方程-x²+2x+3=0得A（-1，0），再利用正切定義得到tan∠AD=$\frac{1}{2}$，所以∠CBE=∠ADF，根據(jù)相似三角形的判定方法，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的下方時(shí)，設(shè)M（1，m），當(dāng)$\frac{DM}{BE}$=$\frac{DA}{BC}$時(shí)，△DAM∽△BCE；當(dāng)$\frac{DM}{BC}$=$\frac{DA}{BE}$時(shí)，△DAM∽△BEC，于是利用相似比得到關(guān)于m的方程，解方程求出m即可得到對應(yīng)的M點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)M在D點(diǎn)上方時(shí)，則∠ADM與∠CBE互補(bǔ)，則可判斷△DAM和△BCE不相似，

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c過點(diǎn)B（3，0），C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；
（2）拋物線的對稱軸為直線x=1，
∵點(diǎn)C與E點(diǎn)為拋物線上的對稱點(diǎn)，
∴E（2，3），
作EH⊥BC于H，如圖1，
∵OC=OB，
∴△OBC為等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，BC=$\sqrt{2}$OB=3$\sqrt{2}$，
∴∠ECB=45°，
∴△CHE為等腰直角三角形，
∴CH=EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE=$\sqrt{2}$，
∴BH=BC-CH=2$\sqrt{2}$，
在Rt△BEH中，tan∠EBH=$\frac{HE}{BH}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
即tan∠CBE的值為$\frac{1}{2}$；
（3）直線x=-1交x軸于F，如圖2，
當(dāng)y=0時(shí)，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，則A（-1，0）
∵A（-1，0），D（1，4），
∴AF=2，DF=4，
∴tan∠ADF=$\frac{AF}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
而tan∠CBE=$\frac{1}{2}$，
∴∠CBE=∠ADF，
AD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BE=$\sqrt{（3-2）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，BC=3$\sqrt{2}$，
當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的下方時(shí)，設(shè)M（1，m），
當(dāng)$\frac{DM}{BE}$=$\frac{DA}{BC}$時(shí)，△DAM∽△BCE，
即$\frac{4-m}{\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{2}}$，解得m=$\frac{2}{3}$，
此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，$\frac{2}{3}$）；
當(dāng)$\frac{DM}{BC}$=$\frac{DA}{BE}$時(shí)，△DAM∽△BEC，
即$\frac{4-m}{3\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$，解得m=-2，
此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-2）；
當(dāng)點(diǎn)M在D點(diǎn)上方時(shí)，則∠ADM與∠CBE互補(bǔ)，則△DAM和△BCE不相似，
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，$\frac{2}{3}$），（1，-2）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；會利用相似比表示線段之間的關(guān)系；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式．