Question

如圖，點(diǎn)E是菱形ABCD對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接BE，DE．
（1）求證：△AEB≌△AED；
（2）延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F，若DE⊥CD于點(diǎn)D，且sin∠ADE=

1

2

．
①求證：BF⊥AD．
②若EF=1，點(diǎn)P為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AP=a，試問：當(dāng)a為何值時(shí)，△AFP與△ADE相似？

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用菱形的性質(zhì)得出DE=BE，進(jìn)而得出△AEB≌△AED；
（2）①利用平行線的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)得出∠DAB+∠ABF=90°，進(jìn)而得出答案；
②利用分類討論得出當(dāng)△AFP′∽△ADE時(shí)，當(dāng)△AFP∽△AED時(shí)，分別求出即可．

解答：（1）證明：連接BD，
∵E是菱形ABCD對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，
∴AC垂直平分BD，則DE=BE，
在△AEB和△AED中

AB=AD AE=AE BE=DE

，
∴△AEB≌△AED；

（2）①證明：∵DE⊥CD于點(diǎn)D，
∴∠ADE+∠DAB=180°-90°=90°，
∵△AEB≌△AED，
∴∠ABF=∠ADE，
∴∠DAB+∠ABF=90°，
∴BF⊥AD；
②∵sin∠ADE=

1

2

，EF=1，∠DFE=90°，
∴DE=BE=2，∠ADE=30°，
∴∠DAB=60°，
∴DF=AF=

1

2

AD=

3

，
當(dāng)△AFP∽△AED時(shí)，

AF

AE

=

AD

AP

，
∴

3

2

=

2 3

AP

，
解得：AP=4，
當(dāng)△AFP′∽△ADE時(shí)，

AP′

AE

=

AF

AD

，
∴

AP′

2

=

3 2

3

，
解得：AP′=1，
綜上所述：當(dāng)a為1或4時(shí)，△AFP與△ADE相似．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定以及菱形的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．