Question

7．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是如數(shù)學(xué)知識(shí)自身的生長(zhǎng)歷史一樣，往往起源于猜測(cè)中的發(fā)現(xiàn)，我們所發(fā)現(xiàn)的不一定對(duì)，但是當(dāng)利用我們已有的知識(shí)作為推理的前提論證之后，當(dāng)所發(fā)現(xiàn)的在邏輯上沒有矛盾之后，就可以作為新的推理的前提，數(shù)學(xué)中稱之為定理．
（1）嘗試證明：
等腰三角形的探索中借助折紙發(fā)現(xiàn)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．但是當(dāng)時(shí)并未說明這個(gè)結(jié)論的合理．現(xiàn)在我們學(xué)些了矩形的判定和性質(zhì)之后，就可以解決這個(gè)問題了．如圖1若在Rt△ABC中CD是斜邊AB的中線，則CD=$\frac{1}{2}$AB，你能用矩形的性質(zhì)說明這個(gè)結(jié)論嗎？請(qǐng)說明．
（2）遷移運(yùn)用：利用上述結(jié)論解決下列問題：
①如圖2所示，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠DCB=90°，EF分別是BD、AC的中點(diǎn)，請(qǐng)你說明EF與AC的位置關(guān)系．
②如圖3所示，?ABCD中，以AC為斜邊作Rt△ACE，∠AEC=90°，且∠BED=90°，試說明平行四邊形ABCD是矩形．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使CD=DE，連接AE、BE，然后證明四邊形AEBC是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得CD=$\frac{1}{2}$AB；
（2）EF⊥AC，連接AE、CE，然后根據(jù)（1）中的結(jié)論得到AE=CE，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得EF⊥AC；
（3）連接EO，根據(jù)（1）中的結(jié)論可得OE=$\frac{1}{2}$DB，OE=$\frac{1}{2}$AC，進(jìn)而得到AC=BD，根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形可得結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖1，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使CD=DE，
連接AE、BE，

∵CD=DE，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，
∴四邊形AEBC為平行四邊形，
∵∠ACB=90°，
∴平行四邊形AEBC是矩形，
∴CE=AB，
∵CD=$\frac{1}{2}$CE，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB；
（2）EF⊥AC．理由如下：
如圖2，連接AE、CE，

∵∠BAD=90°，E為BD中點(diǎn)，
∴AE=$\frac{1}{2}$DB，
∵∠DCB=90°，
∴CE=$\frac{1}{2}$BD，
∴AE=CE，
∵F是AC中點(diǎn)，
∴EF⊥AC；
（3）如圖3，連接EO，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴O點(diǎn)為AC、BD中點(diǎn)，
∵∠AEC=90°，O為AC中點(diǎn)，
∴$OE=\frac{1}{2}AC$，
∵∠BED=90°，O為BD中點(diǎn)，
∴EO=$\frac{1}{2}$BD，
∴AC=BD，
又∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴四邊形ABCD是矩形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形證明四邊形AEBC是矩形，同時(shí)掌握矩形的對(duì)角線相等且互相平分．