Question

（2009•隨州）如圖①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使點A，C分別在DG和DE上，連接AE，BG．
（1）試猜想線段BG和AE的數量關系，請直接寫出你得到的結論；
（2）將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉一定角度后（旋轉角度大于0°，小于或等于360°），如圖②，通過觀察或測量等方法判斷（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由；
（3）若BC=DE=2，在（2）的旋轉過程中，當AE為最大值時，求AF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△BDG與Rt△EDA；根據邊角邊定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；
（2）連接AD，根據直角三角形與正方形的性質可得Rt△BDG≌Rt△EDA；進而可得BG=AE；
（3）根據（2）的結論，求BG的最大值，分析可得此時F的位置，由勾股定理可得答案．
解答：解：（1）BG=AE，
證明：∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴BD=DA，
又∵正方形DEFG中：GD=DE，∠GDB=∠EDA；
∴Rt△BDG≌Rt△ADE；
∴BG=AE；

（2）成立：
證明：連接AD，
∵Rt△BAC中，D為斜邊BC的中點，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°，
∵EFGD為正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE，
在△BDG和△ADE中，

∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE；

（3）由（2）可得BG=AE，當BG取得最大值時，AE取得最大值；
分析可得：當旋轉角度為270°時，BG=AE最大值為1+2=3，
此時如圖：AF=．
點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質．注意在正方形中的特殊三角形的應用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關系，可有助于提高解題速度和準確率．