Question

7．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE．
（1）求證：AE與⊙O相切；
（2）連接BD，若ED：DO=3：1，OA=9，求AE的長(zhǎng)；
（3）若AB=10，AC=8，點(diǎn)F是⊙O任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是弦AF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)F在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為5π．

Answer 1

分析 （1）只要證明△OEC≌△OEA，得∠OAE=∠OCE=90°，即可證明．
（2）設(shè)OD=a，則DE=3a，由△OAD∽△OEA，得$\frac{OA}{OE}$=$\frac{OD}{OA}$，列出方程求出a，再利用勾股定理即可解決問(wèn)題．
（3）如圖2中，連接OM，取OA的中點(diǎn)O′，連接O′M，當(dāng)點(diǎn)F在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑是以O(shè)′為圓心2為半徑的圓，由此即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：如圖1中，連接OC．

∵OD⊥AC，
∴AD=DC，
∴EA=EC，
在△OEC和△OEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OE}\\{OC=OA}\\{EA=EC}\end{array}\right.$，
∴△OEC≌△OEA，
∴∠OAE=∠OCE，
∵EC是⊙O切線，
∴EC⊥OC，
∴∠OCE=90°，
∴∠OAE=∠OCE=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切線．

（2）如圖1中，設(shè)OD=a，則DE=3a，
∵∠AOD=∠AOE，∠ODA=∠OAE，
∴△OAD∽△OEA，
∴$\frac{OA}{OE}$=$\frac{OD}{OA}$，
∴4a²=81，
∵a＞0，
∴a=$\frac{9}{2}$，
∴OE=18，
在Rt△AOE中，AE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{1{8}^{2}-{9}^{2}}$=9$\sqrt{3}$．

（3）如圖2中，連接OM，取OA的中點(diǎn)O′，連接O′M．


∵AM=MF，
∴OM⊥AF，
∵AO′=OO′，OA=OB=5，
∴O′M=$\frac{1}{2}$OA=定長(zhǎng)=$\frac{5}{2}$，
∴當(dāng)點(diǎn)F在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑是以O(shè)′為圓心$\frac{5}{2}$為半徑的圓，
∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為2π•$\frac{5}{2}$=5π．
故答案為5π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、垂徑定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、軌跡等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．