Question

11．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)P重臺(tái)，得折痕EF（點(diǎn)E、F為折痕與矩形邊的交點(diǎn)），再將紙片還原設(shè)四邊形EPFD的面積為S，當(dāng)四邊形EPFD為菱形時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出S的取值范圍1≤S≤$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 由要使四邊形EPFD為菱形，則需DE=EP=FP=DF，可得當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，AP最��；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，AP最大，繼而求得四邊形EPFD為菱形的AP的取值范圍，進(jìn)而得到S的取值范圍．

解答 解：∵要使四邊形EPFD為菱形，則需DE=EP=FP=DF，
∴如圖1：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，AP=AD=1，此時(shí)AP最��；
此時(shí)，S=AP²=1．
如圖2：當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，AP=AB=2，此時(shí)AP最大；
此時(shí)，設(shè)AE=x，則EP=DE=2-x，根據(jù)勾股定理得：1²+x²=（2-x）²，
解得：x=$\frac{3}{4}$，
∴EP=$\frac{5}{4}$，
∴S=1×$\frac{5}{4}$=$\frac{5}{4}$．
∴四邊形EPFD為菱形時(shí)，S的取值范圍：1≤S≤$\frac{5}{4}$．
故答案為：1≤S≤$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了菱形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及面積的計(jì)算．此題難度適中，注意掌握分類(lèi)討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．