Question

10．（1）如圖1，將含30°的三角板DFF的直角頂點(diǎn)D放置在含45°的直角三角板ABC的斜邊AC的中點(diǎn)位置上，兩直角邊分別交AB、BC于M、N，利用三角形的全等，發(fā)現(xiàn)DM與DN數(shù)量關(guān)系是DM=DN；若AB=5，BM=x，BN=y，y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=5-x；
（2）若將三角板DEF繞頂點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，兩直角邊分別與AB、BC的延長線交于M、N，如圖2，（1）中的DM與DN數(shù)量關(guān)系是否改變？并說明理由；
（3）若將三角板DEF的頂點(diǎn)D從中點(diǎn)處沿CA方向平移、旋轉(zhuǎn)至△ADB≌△CND，如圖3，其余條件不變，求證：BM=BN．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△ABC是等腰直角三角形，且D是AC的中點(diǎn)，得出△BDM≌△CDN（ASA），即可得到DM=DN，且BM=CN，再根據(jù)BN+CN=BN+BM=5，即可得到y(tǒng)+x=5；
（2）根據(jù)△ABC是等腰直角三角形，且D是AC的中點(diǎn)，證明出△BDM≌△CDN（ASA），即可得到DM=DN；
（3）根據(jù)△ADB≌△CND，得到AB=CD，∠ABD=∠CDN，AD=CN，再根據(jù)△BDC是等腰三角形，求得∠ABD的度數(shù)，進(jìn)而得到∠CDN的度數(shù)，最后根據(jù)∠MDN是直角，求得∠ADM=∠AMD=67.5°，即可得到AD=AM=CN，據(jù)此得出結(jié)論BM=BN．

解答 解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，且D是AC的中點(diǎn)，
∴BD=$\frac{1}{2}$AC=CD，BD⊥AC，∠DBM=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°=∠C，
又∵∠MDN=90°，
∴∠BDM+∠BDN=90°=∠CDN+∠BDN，
∴∠BDM=∠CDN，
在△BDM和△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBM=∠C}\\{BD=CD}\\{∠BDM=∠CDN}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△CDN（ASA），
∴DM=DN，且BM=CN，
∵AB=BC=5，
∴BN+CN=BN+BM=5，
即y+x=5，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=5-x；
故答案為：DM=DN；y=5-x；

（2）DM與DN數(shù)量關(guān)系不變．
理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，且D是AC的中點(diǎn)，
∴BD=$\frac{1}{2}$AC=CD，BD⊥AC，∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°=∠ACB，
∴∠DBM=∠DCN=135°，
又∵∠MDN=90°，
∴∠BDM+∠MDC=90°=∠CDN+∠MDC，
∴∠BDM=∠CDN，
在△BDM和△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBM=∠DCN}\\{DB=DC}\\{∠BDM=∠CDN}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△CDN（ASA），
∴DM=DN；

（3）證明：∵△ADB≌△CND，
∴AB=CD，∠ABD=∠CDN，AD=CN，
∵AB=BC，
∴CD=CB，
∵∠C=45°，
∴∠DBC=67.5°，
∴∠ABD=90°-67.5°=22.5°，
∴∠CDN=22.5°，
∵∠MDN=90°，
∴∠ADM=180°-90°-22.5°=67.5°，
又∵∠A=45°，
∴△ADM中，∠AMD=67.5°，
∴∠ADM=∠AMD，
∴AD=AM，
∴CN=AM，
∵AB=BC，
∴BM=BN．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)ASA判定△BDM≌△CDN，據(jù)此得出對(duì)應(yīng)邊相等．解題時(shí)注意：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．