Question

若關(guān)于x的三個(gè)方程x²+4mx+4m²+2m+3=0，x²+（2m+1）x+m²=0，（m-1）x²+2mx+m-1=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式

專(zhuān)題：計(jì)算題,轉(zhuǎn)化思想

分析：先設(shè)關(guān)于x的三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根，得到△₁=16m²-4（4m²+2m+3）＜0，解得m＞-

3

2

；△₂=（2m+1）²-4m²=4m+1＜0，解得m＜-

1

4

；△₃=4m²-4（m-1）²=8m+4＜0，解得m＜

1

2

．這樣就有當(dāng)-

3

2

＜m＜-

1

4

時(shí)，關(guān)于x的三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，當(dāng)m不在這個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)，關(guān)于x的三個(gè)方程至少有一個(gè)有實(shí)根，于是得到題目要求的m的范圍：m≤-

3

2

或m≥-

1

4

．

解答：解：設(shè)關(guān)于x的三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根．
對(duì)于方程x²+4mx+4m²+2m+3=0，則有△₁＜0，即△₁=16m²-4（4m²+2m+3）＜0，解得m＞-

3

2

；
對(duì)于方程x²+（2m+1）x+m²=0，則有△₂＜0，即△₂=（2m+1）²-4m²=4m+1＜0，解得m＜-

1

4

；
對(duì)于方程（m-1）x²+2mx+m-1=0，當(dāng)m=1時(shí)，方程變?yōu)?x=0，方程有解，
所以m≠1，則有△₃＜0，
即△₃=4m²-4（m-1）²=8m+4＜0，解得m＜

1

2

．
綜合所得：當(dāng)-

3

2

＜m＜-

1

4

，且m≠1時(shí)，關(guān)于x的三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根．
所以若關(guān)于x的三個(gè)方程x²+4mx+4m²+2m+3=0，x²+（2m+1）x+m²=0，（m-1）x²+2mx+m-1=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則m的取值范圍是 m≤-

3

2

或m≥-

1

4

．
故答案為：m≤-

3

2

或m≥-

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．同時(shí)考查了不等式組的解以及從所求問(wèn)題的反面出發(fā)進(jìn)行突破的解題方法．