Question

20．如圖1，二次函數(shù)y=ax²+bx-3的圖象與y軸交于點C，與x軸交于點A（3，0），過點C作BC∥x軸，交拋物線于點B，并過點B 作BD⊥x軸，垂足為D．拋物線y=ax²+bx-3和反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象都經(jīng)過點B（2，m），四邊形OCBD的面積是6．
（1）求反比例函數(shù)、二次函數(shù)的解析式及拋物線的對稱軸；
（2）如圖2，點P從B點出發(fā)以每秒0.1個單位的速度沿線段BC向C點運(yùn)動，點Q從O點出發(fā)以相同的速度沿線段OA向A點運(yùn)動，其中一個動點到達(dá)端點時，另一個也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
①當(dāng)t為何值時，四邊形ABPQ為等腰梯形；
②設(shè)PQ與對稱軸的交點為M，過M點作x軸的平行線交AB于點N，設(shè)四邊形ANPQ的面積為S，求面積S關(guān)于時間t的函數(shù)解析式，并指出t的取值范圍；當(dāng)t為何值時，S有最大值或最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義可求出k，從而可求出點B的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出二次函數(shù)的解析式，由此可求出對稱軸方程；
（2）①過點P作PE⊥OA，垂足為E，如圖2，易證BC∥OA，要使四邊形ABPQ為等腰梯形，只需PQ=AB，只需QE=AD=1，由此即可求出t的值；②如圖2，易證△MFP≌△MGQ，則有MF=MG，從而可求出S_△BPN（用t表示），然后只需求出S_{四邊形ABPQ}，并運(yùn)用割補(bǔ)法就可得到S關(guān)于t的函數(shù)解析式，然后只需利用該函數(shù)的增減性就可解決問題．

解答 解：（1）如圖1，
∵四邊形OCBD的面積是6，
∴k=xy=-6，
∴反比例函數(shù)的解析式為$y=-\frac{6}{x}$．
∵反比例函數(shù)$y=-\frac{6}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過點B（2，m），
∴2m=-6，
解得m=-3．
∴B（2，-3）．
將點A（3，0），B（2，-3）代入y=ax²+bx-3，得
$\left\{\begin{array}{l}0=9a+3b-3\\-3=4a+2b-3.\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x²-2x-3．
則拋物線的對稱軸為x=-$\frac{-2}{2×1}$=1；

（2）①由題意可知：BP=OQ=0.1t．
∵點B，點C的縱坐標(biāo)相等，
∴BC∥OA．
過點P作PE⊥OA，垂足為E，如圖2．
要使四邊形ABPQ為等腰梯形，只需PQ=AB．
即QE=AD=1．
又QE=OE-OQ=（2-0.1t）-0.1t=2-0.2t，
∴2-0.2t=1．
解得t=5，
∴當(dāng)t=5秒時，四邊形ABPQ為等腰梯形．
②設(shè)對稱軸與BC、x軸的交點分別為F、G，如圖2．
∵對稱軸x=1是線段BC的垂直平分線，
∴BF=CF=OG=1．
又∵BP=OQ，
∴PF=QG．
∵BC∥OA，
∴∠GQM=∠FPM．
在△MFP和△MGQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMF=∠QMG}\\{∠FPM=∠GQM}\\{PF=QG}\end{array}\right.$
∴△MFP≌△MGQ，
∴MF=MG，
∴S_△BPN=$\frac{1}{2}$PB•MF═$\frac{1}{2}$PB•$\frac{1}{2}$FG
=$\frac{1}{2}$×0.1t×$\frac{3}{2}$
=$\frac{3}{40}$t．
∵S_{四邊形ABPQ}=$\frac{1}{2}$（BP+AQ）•FG
=$\frac{1}{2}$（0.1t+3-0.1t）•3
=$\frac{9}{2}$，
∴S=S_{四邊形ABPQ}-S_△BPN
=$\frac{9}{2}$-$\frac{3}{40}$t．
∵BC=2，OA=3，
∴點P運(yùn)動到點C時停止運(yùn)動，需要2÷0.1=20秒，
∴0≤t≤20．
∵-$\frac{3}{40}$＜0，
∴當(dāng)t=20秒時，面積S有最小值3．

點評 本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)的增減性、反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰梯形的判定等知識，把四邊形ABPQ為等腰梯形轉(zhuǎn)化為QE=AD是解決第（2）①小題的關(guān)鍵，運(yùn)用割補(bǔ)法是解決第（2）②小題的關(guān)鍵．